DẠNG TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Tài Liệu Toán THCS Toán 9

Dạng toán giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thường xuyên gặp trong những đề thi tuyển sinh lớp 10. Đây là dạng toán đòi hỏi nhiều kĩ năng và thực hành thường xuyên, trong đó quan trọng là hai kĩ năng:
$\quad$ Kĩ năng đầu tiên và cũng là khó nhất đối với học sinh đó là kĩ năng đọc đề, phân tích và lập được phương trình.

$\quad$ Kĩ năng thứ hai là khi lập được hệ phương trình ta áp dụng các phương pháp đã học để giải tìm nghiệm của bài toán.
Lưu ý: Một bài toán có thể giải theo cách lập hệ phương trình, cũng có thể giải theo cách lập phương trình, tùy vào cách chúng ta đặt ẩn và biểu diễn các dữ kiện.

Xem đầy đủ chi tiết các dạng toán thực tế tại đây:

>>Bí kíp chinh phục toán thực tế vào 10

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1: – Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
– Lập các phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: – Giải phương trình
Bước 3: – Chọn kết quả thích hợp và trả lời.

2. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Tương tự như giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất một ẩn, chỉ
khác là:
– Phải chọn hai ẩn số.
– Lập một hệ hai phương trình.
– Giải hệ bằng một trong hai cách: phương pháp thế, hoặc phương pháp cộng
đại số và trả lời.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

1. Dạng toán chuyển động

Ví dụ 1: Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm $\mathrm{B}$ dài $240 \mathrm{~km} .$ Mỗi giờ Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn Ô tô thứ hai $12 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ nên đến địa điểm $\mathrm{B}$ trước Ô tô thứ hai là 100 phút. Tính vận tốc của mỗi Ô tô.

Hướng dẫn Giải:

Đổi 100 phút = $\frac{5}{3}$ giờ

Gọi vận tốc của Ô tô thứ hai là $x(\mathrm{~km} / \mathrm{h}) .(\mathrm{x}>0)$

Ta có vận tốc của Ô tô thứ nhất là $x+12 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.

Thời gian Ô tô thứ hai đi hết quãng đường $\mathrm{AB}$ là: $\frac{240}{x}$ ( h).

Thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đường $\mathrm{AB}$ là: $\frac{240}{x+12}$ ( h).

Vì Ô tô thứ nhất đến địa điểm B trước Ô tô thứ hai là 100 phút do đó ta có PT:

$$\frac{240}{x}-\frac{240}{x+12}=\frac{5}{3}\Leftrightarrow \frac{2880}{x(x+12)}=\frac{5}{3}$$

$$\Leftrightarrow x(x+12)=\frac{2880.3}{5}$$
$$\Leftrightarrow x(x+12)=1728$$
$$\Leftrightarrow x^{2}+12x-1728=0$$
$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=36 \ (nhan)\\x=-48 \ (loai)\end{matrix}\right.$$

Vậy vận tốc của Ô tô thứ nhất $48 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, Ô tô thứ hai là $36 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.

Ví dụ 2. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong thời gian nhất định nếu xe chạy với vận tốc 25 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu.

Hướng dẫn giải:

Gọi t là thời gian dự kiến của ô tô chạy từ A đến B. 

Gọi s là độ dài quãng đường $\mathrm{AB}$. Điều kiện $t, s >0$
Thời gian ô tô đi từ $\mathrm{A}$ đến $\mathrm{B}$ với vận tốc $25 \mathrm{~km} / \mathrm{h}: t_{1}=t+2=\frac{s}{25}$
Thời gian ô tô đi từ $\mathrm{B}$ về $\mathrm{A}$ với vận tốc $50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}: t_{1}=t-1=\frac{s}{50}$

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}s=25(t+2) \\ s=50(t-1)\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}s=150(\mathrm{~km}) \\ t=4(h)\end{array}\right.\right.$ (nhận)
Vậy quãng đường AB dài 150km và thời gian dự kiến ban đầu của ô tô đi từ A đến B là 4 giờ.

2. Dạng toán công việc chung, công việc riêng

Ví dụ 3: Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày được 52 ha, vì vậy đội không những cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch.

Hướng dẫn Giải:

Gọi diện tích mà đội phải cày theo kế hoạch là $x,$ ( ha ), ( $x>0$ ).

Thời gian đội dự định cày là: $\frac{x}{40}$ ( giờ ).

Diện tích mà đội thực tế đã cày là: $(\mathrm{x}+4),$ ( ha ).

Thời gian mà đội thực tế đã cày là: $\frac{x+4}{52}$ (giờ).

Vì khi thực hiện đội đẵ cày xong trước thời hạn 2 ngày do đó ta có phương trình: $\frac{x}{40}-\frac{x+4}{52}=2$

Giải phương trình trên ta được $x=360 .$

Vậy diện tích mà đội dự định cày theo kế hoạch là: 360 ha.

Ví dụ  4: Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong công việc. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được $75 \%$ công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi).

Hướng dẫn Giải:

Đổi: 4 giờ 30 phút $=\frac{9}{2}$ giờ

Gọi $x(h)$ là thời gian đề người thứ nhất làm một mình xong công việc $\left(DK: x>\frac{9}{2}\right)$
Gọi y(h) là thời gian đề người thứ hai làm một mình xong công việc (DK: $\left.y>\frac{9}{2}\right)$

Khi đó: Mỗi giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc)

Mỗi giờ người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc)

Mỗi giờ cả hai người làm được $\frac{2}{9}$ (công việc)

Trong 4 giờ người thứ nhất làm được $\frac{4}{x}$ (công việc)

Trong 3 giờ người thứ hai làm được $\frac{3}{y}$ (công việc)
Theo bài ra ta có hệ phương trình:

$$\left\{\begin{array}{l}

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{9}\\ \frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}\end{array} \right. (*)$$
Đặt $\frac{1}{x}=a$ va $\frac{1}{y}=b .$ Khi đó hệ phương trình $\left(^{*}\right)$ trở thành $\left\{\begin{array}{l}a+b=\frac{2}{9} \\ 4 a+3 b=\frac{3}{4}\end{array}\right.$
$$
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
9 a+9 b=2 \\
16 a+12 b=3
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a=\frac{1}{12} \\
b=\frac{5}{36}
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{x}=\frac{1}{12} \\
\frac{1}{y}=\frac{5}{36}
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=12 \\
y=\frac{36}{5}(T M)
\end{array}\right.\right.\right.\right.
$$

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 12 giờ

người thứ hai làm một mình xong công việc trong $\frac{36}{5}=7,2 h$.

3. Dang toán sử dụng kiến thức %

Ví dụ 5:  Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai tổ vượt mức $15 \%,$ tổ II sản xuất vượt mức $20 \%,$ do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.

Hướng dẫn Giải:

Gọi số chi tiết sản xuất được trong tháng đầu của Tổ I là x ( $x$ nguyên dương), $x<720 .$

Gọi số chi tiết sản xuất được trong tháng đầu của Tổ II là y ( y nguyên dương), $y<720 .$

Vì trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy do đó ta có phương trình (1) $x+y=800$
Vì trong tháng thứ hai Tổ I vượt mức $15 \%$, Tổ II sản xuất vượt mức $12 \%,$ cả hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy do đó ta có phương trình (2) là: $\mathrm{x}+\frac{15 x}{100}+\mathrm{y}+\frac{20 x}{100}=945 \Leftrightarrow \frac{115}{100} \mathrm{x}+\frac{112}{100} \mathrm{y}=945$

Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=800 \\ \frac{115}{100} x+\frac{112}{100} y=945\end{array} ;\right.$

Giải hệ phương trình ta được: $\left\{\begin{array}{l}x=300 \\ y=500\end{array}\right.$
Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 300 chi tiết máy, tổ II sản xuất được 500 chi tiết máy.

Ví dụ 6: Trong tháng 1 hai tổ làm được 900 sản phẩm sang tháng 2, tổ 1 làm vượt mức $15 \%$ và tổ 2 vượt mức $10 \%$ vì vậy 2 tổ làm được 1010 sản phẩm. Hỏi trong tháng 1 mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm.

Hướng dẫn Giải:

Gọi số sản phẩm tổ 1 làm trong tháng đầu là $x$. Điều kiện x thuộc $\mathrm{N}^{*}$

Vậy số sản phẩm tổ 2 làm trong tháng 1 là $900-x$

Sang tháng 2 tổ 1 làm $(100 \%+15 \%).x=1,15x$

Tổ 2 làm được $(100 \%+10 \%).(900 – x)=1,1.(900-x)$. Vì tháng 2 cả hai tổ làm được 1010 sản phẩm nên ta có phương trình:  $\mathrm{PT} 1,15 \mathrm{x}+1,1(900-\mathrm{x})=1010$

Giải ra ta được tháng 1 tổ 1 làm được 400 sản phẩm,  tổ 2 làm được 500 sản phẩm.

Ví dụ 7: Nhân dịp lễ Quốc tế phụ nữ 8/3, bạn Hoa định đi siêu thị mua tặng mẹ một cái máy sấy tóc và bàn ủi với tổng giá tiền là 700 000 đồng. Vì lễ nên siêu thị giảm giá, mỗi máy sấy tóc giảm 10%, mỗi bàn ủi giảm 20% nên Hoa chỉ trả là 585 000 đồng. Hỏi giá tiền ban đầu (khi chưa giảm) của mỗi máy sấy tóc, bàn ủi là bao nhiêu?

Hướng dẫn Giải:

Gọi $x, y$ (đồng) lần lượt là giá tiền của máy sấy tóc và bàn ủi khi chưa giảm giá $(x>0 ; y>0)$
Theo đề bài, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}x+y=700000 \\ (x-10 \% x)+(y-20 \% y)=585000\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x+y=700000 \\ 0,9 x+0,8 y=585000\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}-0,8 x-0,8 y=-560000 \\ 0,9 x+0,8 y=585000\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}0,1 x=25000 \\ 0,9 x+0,8 y=585000\end{array}\right.\right.\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x=250000 \\ 0,9.250000+0,8 y=585000\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x=250000 \\ 0,8 y=360000\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=250000 \\ y=450000\end{array}\right.\right.\right.$ (nhận)
Vậy giá tiền của máy sấy tóc là 250000 đồng, giá tiền của bàn ủi là 450000 đồng khi chưa giảm giá.

4. Dạng toán sử dụng kiến thức hình học

Ví dụ 8: Một khu vườn Hình chữ nhật có chu vi $280 \mathrm{~m}$. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất vườn ) rộng $2 \mathrm{~m}$, diện tích còn lại để trồng trọt là $4256 \mathrm{~m}^{2}$. Tính kích thước ( các cạnh) của khu vườn đó

Hướng dẫn Giải:

Gọi một cạnh của khu vườn là $x,(m), x<140$

Ta có cạnh còn lại của khu vườn là: $(140-\mathrm{x})$. Do lối xung quanh vườn rộng $2 \mathrm{~m}$ nên các kích thước các cạnh còn lại để trồng trọt là: $(\mathrm{x}-4),(140-\mathrm{x}$ -4)$(\mathrm{m})$

Vì diện tích còn lai để trồng trọt là $4256 \mathrm{~m}^{2}$ do đó ta có phương trình:

$(\mathrm{x}-4) \cdot(140-\mathrm{x}-4)=4256 \Leftrightarrow x^{2}-140 x+4800=0$

Giải PT trên ta được $x_{2}=80, x_{2}=60 .$

Vậy các cạnh của khu vườn Hình chữ nhật là $80 \mathrm{~m}, 60$ $\mathrm{m}$.

Ví dụ 9: Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi bằng $198 \mathrm{~m}$, diện tích bằng $2430 \mathrm{~m}^{2}$. Tính chiều dài và chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật đó cho.

Hướng dẫn giải

Gọi $x(\mathrm{~m})$ là chiều dài và $\mathrm{y}(\mathrm{m})$ là chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật, với $(0 \leq y \leq x \leq 99)$.

Theo bài ra thửa đất có :
Chu vi :$2(x+y)=198 \quad(m)$
Diện tích :$xy=2430\left(m^{2}\right)$
Ta có hệ phưong trình : $\quad\left\{\begin{array}{c}2(x+y)=198 \\ x y=2430\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=99 \\ x y=2430\end{array}\right.\right.$
$\Rightarrow \mathrm{x}, \mathrm{y}$ là nghiệm phương trình $: X^{2}-99 X+2430=0$
Phương trình có $\Delta=99^{2}-4.2430=81 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=9$
$\Rightarrow X_{1}=\frac{99+9}{2}=\frac{108}{2}=54$ và $X_{2}=\frac{99-9}{2}=\frac{90}{2}=45 \Rightarrow \mathrm{x}=54$ và $\mathrm{y}=45$ ( thỏa )
Vậy chiều dài và chiều rộng thửa đất hình chữ nhật là : $x=54(\mathrm{~m})$ và $\mathrm{y}=45(\mathrm{~m})$.

5. Dạng toán tìm số

Ví dụ 10: Trong dịp kỷ niệm 57 năm ngày thành lập nước CHXHCN Việt Nam 180 học sinh được điều về thăm quan diễu hành, người ta tính. Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lượt hết số học sinh thì phải điều động ít hơn dùng loại xe nhỏ là 2 chiếc. Biết rằng mỗi ghế ngồi 1 học sinh và mỗi xe lớn nhiều hơn xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn, nếu loại xe đó được huy động.

Hướng dẫn Giải:

Gọi số Xe lớn là x ( chiếc), x nguyên dương. Ta có số Xe nhỏ là: $x+2$.
Ta có số học sinh Xe lớn chở được là: $\frac{180}{x}$ ( HS).

Ta có số học sinh Xe nhỏ chở được là: $\frac{180}{x+2}$ ( tấn).
Vì mỗi Xe lớn chở được số học sinh nhiều hơn số Xe nhỏ là 15 học sinh do đó ta có phương trình:
$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+2}=15 ;$

Giải phương trình ta được $x=4$; $\quad$ Vậy số Xe lớn là $4 .$

Ví dụ 11: Một phòng họp có 250 chỗ ngồi được chia thành từng dãy, mỗi dãy có số chỗ ngồi như nhau. Vì có đến 308 người dự họp nên ban tổ chức phải kê thêm 3 dãy ghế, mỗi dãy ghế phải kê thêm một chỗ ngồi thì vừa đủ. Hỏi lúc đầu ở phòng họp có bao nhiêu dãy ghế vả mỗi dãy ghế có bao nhiêu chỗ ngồi?

Hướng dẫn Giải:

Gọi x là số dãy ghế lúc đầu $\left(x \in N^{*}, 250: x\right)$

Số chỗ ngồi trên mỗi dãy ghế lúc đầu: $\frac{250}{x}$ (chỗ)

Số dãy ghế lúc sau: $x+3$ (dãy)

Số chỗ ngồi lúc sau: $\frac{308}{x+3}($ chỗ $)$

Vì số chỗ ngồi trên mỗi dãy ghế lúc sau hơn số chỗ ngồi trên mỗi dãy ghế lúc đầu là 1 chỗ (kê thêm vào mỗi dãy 1 chỗ ngồi), nên ta có phương trình:
$\frac{308}{x+3}-\frac{250}{x}=1$
$\Leftrightarrow 308 x-250(x+3)=x(x+3)$
$\Leftrightarrow 308 x-250 x-750=x^{2}+3 x$
$\Leftrightarrow x^{2}-55 x+750=0$
$\Leftrightarrow x^{2}-30 x-25 x+750=0$
$\Leftrightarrow x(x-30)-25(x-30)=0$
$\Leftrightarrow(x-30)(x-25)=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-30=0 \\ x-25=0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=30(l) \\ x=25(n)\end{array}\right.\right.$
Vậy lúc đầu ở phòng họp có 25 dãy ghế. Mỗi dãy ghế có $\frac{250}{25}=10$ chỗ ngồi.

Xem nhiều nhất

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *