BÀI 3: HÌNH TRỤ HÌNH NÓN HÌNH CẦU

Trong bài học này chúng ta sẽ đi tìm hiểu các bài toán về hình trụ hình nón hình cầu lớp 9. Đây là một dạng toán thực tế thường xuất hiện trong các đề ôn thi vào lớp 10… 

Bài giảng toán thực tế hình trụ hình nón hình cầu lớp 9

>>Xem tiếp: Bài 4. Hình lăng trụ đứng – Hình hộp chữ nhật

>>Xem đầy đủ các bài học tại đây: TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10

>> Tham gia ngay group học tập trên facebook: Nhóm Hệ thống toán 9 – ôn thi vào 10

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Hình tròn

Diện tích hình tròn: $\mathrm{S}=\pi \mathrm{R}^{2}$

Diện tích hình quạt tròn: $\mathrm{S}=\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \mathrm{n}}{360} \text { hay } \mathrm{S}=\frac{l \mathrm{R}}{2}$

2. Hình trụ

hình trụ

  • Diện tích xung quanh: $\mathrm{S}_{\mathrm{xq}}=2 \pi \mathrm{Rh}$($R$ là bán kính đáy và $h$ là chiều cao)
  • Diện tích toàn phần: $\mathrm{S}_{\mathrm{tp}}=2 \pi \mathrm{Rh}+2 \pi \mathrm{r}^{2}=2 \pi \mathrm{R}(\mathrm{h}+\mathrm{R})$
  • Thể tích: $V=S.h$ ($S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao)

3. Hình nón

hình nón

  • Diện tích xung quanh của hình nón: $\mathrm{S}_{\mathrm{xq}}=\pi \mathrm{Rl}$

(với $l$ là độ dài đường sinh, $R$ là bán kính đáy)

  • Diện tích toàn phần của hình nón (tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy) là: $\mathrm{S}_{\mathrm{tp}}=\pi \mathrm{R} \mathrm{l}+\pi \mathrm{R}^{2}=\pi \mathrm{R}(\mathrm{l}+\mathrm{R})$ (với $l$ là độ dài đường sinh, $R$ là bán kính đáy)
  • Thể tích hình nón: $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \pi \mathrm{R}^{2} \mathrm{~h}$(với $h$ là đường cao, $R$ là bán kính đáy)

4. Hình nón cụt

  • Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón cụt: $\mathrm{S}_{\mathrm{xq}}=\pi\left(\mathrm{r}_{1}+\mathrm{r}_{2}\right) l$
  • Thể tích của hình nón cụt: $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \pi \mathrm{h}\left(\mathrm{r}_{1}^{2}+\mathrm{r}_{2}^{2}+\mathrm{r}_{1} \mathrm{r}_{2}\right)$($h$ là chiều cao)

5. Hình cầu

hình cầu

  • Công thức tính diện tích mặt cầu: $\mathrm{S}=4 \pi \mathrm{R}^{2}$ hay $\mathrm{S}=\pi \mathrm{d}^{2}$

(Với $R$ là bán kính mặt cầu, $d$ là đường kính mặt cầu)

  • Thể tích hình cầu: $\mathrm{V}=\frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3}$

TOÁN THỰC TẾ HÌNH NÓN

Bài 1. Tính lượng vải cần mua để tạo ra nón của chú Hề trong hình bên. Biết rằng tỉ lệ khấu hao vải khi may nón là $15 \%$.

hình trụ hình nón hình cầu

Hướng dẫn giải:

Đặt $S$ là diện tích vải dùng để tạo ra nón.

Ta có: $S=S_{1}+S_{2}$. Trong đó: $S_{1}=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right)$; là diện tích hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là: $R=\frac{35}{2}, r=\frac{35}{2}-10=\frac{15}{2}$

$S_{2}$ là diện tích hình nón có $r=\frac{15}{2}, l=30: S_{2}=\pi r l$

Do đó:

$S=S_{1}+S_{2}$

$=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right)+\pi r l$

$=\pi\left(\left(\frac{35}{2}\right)^{2}-\left(\frac{15}{2}\right)^{2}\right)+\pi \frac{15}{2} 30=475 \pi$

Vì tỉ lệ khấu hao vải khi may nón là $15 \%$.

Nên diện tích vải cần dùng thực tế là:

$S+15 \% S=475 \pi+15 \% .475 \pi=546,25 \pi \approx 1715,23\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$

Vậy diện tích vải cần dùng là khoảng $1715,23 \mathrm{~cm}^{2}$

Bài 2. Nhà hát Cao Văn Lầu và Trung tâm triển lãm văn hóa nghệ thuật tỉnh Bạc Liêu có hình dáng 3 chiếc nón lá lớn nhất Việt Nam, mái nhà hình nón làm bằng vật liệu composite và được đặt hướng vào nhau. Em hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của mái nhà hình nón biết đường kính là $45 \mathrm{~m}$ và chiều cao là $24 \mathrm{~m}$ (lấy $\pi$ $\approx 3,14$, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải:

Diện tích xung quanh hình nón được tính bởi công thức $S_{x p}=3,14 r l$ với $l$ là đường sinh được thể hiện như hình sau:

Như vậy, theo đề bài ta được $S=3 S_{x p}=3.3,14 \cdot \frac{45}{2} \sqrt{\left(\frac{45}{2}\right)^{2}+24^{2}} \approx 6973$ mét vuông. (đề bài nên nói rõ là diện tích xung quanh của mái nhà như vậy sẽ hay hơn).

Tương tự, thể tích của mái nhà là: $V=3 V^{\prime}=3 \cdot \frac{1}{3} 3,14 r^{2} h=3,14 \cdot\left(\frac{45}{2}\right)^{2} 24=39151 \mathrm{~m}^{3}$

Bài 3. Một chiếc ống quế đựng kem có hình dạng như một chiếc nón có kích thước $OC=2 cm$, $OA=6 cm.$ Cho $1 cm^{2}$ ống quế có khối lượng là $1,2 gam$. Tính khối lượng của chiếc bánh quế

Hướng dẫn giải:

Vì tam giác AOC vuông tại O nên ta có đường sinh hình nón là:

$l=AC=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{C}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}+{{2}^{2}}}=6,32(~\text{cm})$

Diện tích xung quanh của hình nón là:

${{S}_{xq}}=\pi rl=3,14.2.6,32\approx 39,69\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{2}} \right)$

Khối lượng bánh quế là: $39,69.1,2=47,63\left( ~gam \right)$.

Bài 4. Một khối lập phương có cạnh 1 m chứa đầy nước. Đặt vào trong khối đó một khối nón có đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước tràn ra ngoài và lượng nước ban đầu trong khối hộp.

Hướng dẫn giải:

Thể tích nước ban đầu trong khối lập phương đầy nước là: $1^{3} = 1m^{3}$

Thể tích của hình nón là

$\frac{1}{3}.\pi.(\frac{1}{2})^{2} =\frac{\pi}{12}$ ( m3)

Tỉ số thể tích của lượng nước tràn ra ngoài và lượng nước ban đầu trong khối hộp bằng tỉ số thể tích của hình nón và lượng nước ban đầu trong khối hộp nên ta có

$\frac{\pi}{12}:1 =\frac{\pi}{12}$

Bài 5: Một khối gỗ hình lập phương cạnh 8 cm, được khoét bởi một hình nón, đường sinh AB = 8,6 cm. và đỉnh chạm mặt đáy của khối gỗ (xem hình bên). Hãy tính bán kính đáy của hình nón và thể tích của khối gỗ còn lại. Biết

${{\text{V}}_{\text{lap phuong }}}={{\text{a}}^{3}}$ (a là canh hình lập phương)

$\mathrm{V}_{\text {hinh nón }}=\frac{1}{3} \pi \mathrm{R}^{2} \mathrm{~h}(\mathrm{R}=\mathrm{OB}$ là bán kính mặt đáy,

$\mathrm{h}=$ OA là chiều cao của hình nón $), \pi \approx 3,14$.

Hướng dẫn giải:

Xét $\Delta \mathrm{AOB}$ vuông tai $\mathrm{O},$ ta có:

$\mathrm{OA}^{2}+\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{AB}^{2}$ (Định lý Pytago)

$\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{OA}^{2}=8,62-82=9,96$

$\mathrm{OB} \approx 3,16 \mathrm{~cm}$

${{\text{V}}_{\text{lap phuong }}}=83=512~\text{cm}3$

$\mathrm{V}_{\text {hinh nón }}=\frac{1}{3} \pi \mathrm{R}^{2} \mathrm{~h}=\frac{1}{3} .3,14.3,162.8=83,61 \mathrm{~cm}^{3}$

Thể tích của khối gỗ còn lại:

${{\text{V}}_{\text{lap phuong }}}-{{\text{V}}_{\text{hinh n }\!\!\acute{\mathrm{o}}\!\!\text{ n }}}=512-83,61=428,39~\text{c}{{\text{m}}^{3}}$

Bài 6. Một chóa đèn có dạng hình nón với đường kính đáy $20 \mathrm{~cm}$, bên trong đặt một đèn led tại A. Khi được treo trên trần nhà như hình vẽ, đèn chiếu sáng một khoảng rộng $3 \mathrm{~m}$ trên nền nhà. Biết rằng độ cao từ nền đến trần nhà là $4,2 \mathrm{~m}$. Tính:

a) Khoảng hở giữa chóa đèn và nền nhà?

b) Diện tích được chiếu sáng trên nền nhà?

Hướng dẫn giải

a) Theo đề bài ta có

$B C=0,2 m \Rightarrow I C=0,1 M ; D E=3 m \Rightarrow E H=1,5 m ; A H=4,2 m$

$\frac{I C}{H E}=\frac{A I}{A H} \Rightarrow \frac{0,1}{1,5}=\frac{A I}{4,2} \Rightarrow A I=0,28 m$

Khoảng hở giữa chóa đèn và nền nhà là $I H=4,2-0,28=3,92 m$.

Diện tích được chiếu sáng là diện tích hình tròn trên nền nhà có bán kính là $R=H E=1,5 m \Rightarrow S=\pi R^{2}=\pi \cdot 1,5^{2}=7,07 m^{2}$.

Bài 7: Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước. Các bán kính đáy là 14cm và 9cm , chiều cao là 23cm .

a) Hỏi xô có thể đựng được bao nhiêu lít nước?

b) Tính diện tích tôn để làm xô (không kể diện tích các chỗ ghép).

Hướng dẫn giải:

a) Thể tích của xô nước là:

$V=\frac{1}{3} \pi h\left( R^{2}+r^{2}+Rr \right)=\frac{1}{3}\pi .23\left( 14^{2}+9^{2}+14.9 \right)$

$\approx 9702\left( cm^{3} \right)\approx 9,7\left( dm^{3} \right)$

Vậy xô đó có thể đựng được 9,7 lít.

b) Muốn tính diện tích tôn để làm xô ta tính diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy nhỏ.

Trước hết, tính đường sinh AD bằng cách áp dụng định lí Pythagore đối với tam giác vuông $\Delta A D H,$ trong đó $D H=23 c m ; A H=R-r=5 c m$

Diện tích xung quanh của xô là:

$S_{xq}=\pi (R+r)l=\pi (14+9)\cdot 23,5=540,5\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{2}} \right)$

$S_{d}=\pi {{r}^{2}}=\pi {{.9}^{2}}=81\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{2}} \right)$

Diện tích tôn để làm xô là:

$S={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}=540,5\pi +81\pi =612,5\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{2}} \right)\approx 1952\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{2}} \right)$.

Bài 8: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 - Thành phố Huế 2014 - 2015) Một cái xô bằng Inox có dạng hình nón cụt (độ dày của thành xô nhỏ không đáng kể) đựng hóa chất được đặt vào bên trong một cái thùng hình trụ, có miệng xô trùng khít với miệng thùng. Đáy xô dát với đáy thùng và có bán kính bằng $\frac{1}{2}$ bán kính đáy thùng.

Biết rằng, thùng có chiều cao bằng đường kính đáy và diện tích xung quanh bằng $8 \pi\left(\mathrm{dm}^{2}\right)$. Hỏi khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là bao nhiêu lit? (cho $\pi \approx 3,14$ và kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn giải

Gọi $R(\mathrm{dm})$ là bán kính của đáy thùng. Thùng hình trụ có bán kính đáy bằng $R$ và chiều cao $h=2 R$ nên diện tích xung quanh của nó là: $S_{\text {xq }}=2 \pi R .2 R=4 \pi R^{2}\left(d m^{2}\right)$.

Nên $4 \pi R^{2}=8 \pi \Leftrightarrow R^{2}=2 \Rightarrow \sqrt{R}=2(\mathrm{dm})$

Xô có đáy hình nón cụt có hai đáy lần lượt là:

$R_{1}=R=\sqrt{2}(\mathrm{dm})$ và $R_{2}=\frac{1}{2} R=\frac{\sqrt{2}}{2}(\mathrm{dm})$

Từ đó ta có chiều cao của xô là: $h=2 R=2 \sqrt{2}$ (dm).

Nên $V=\frac{1}{3} \pi \cdot 2 \sqrt{2}\left[(\sqrt{2})^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}\right]=\frac{7 \sqrt{2}}{3} \pi \approx 10,4\left(d m^{3}\right)$

Vậy khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là 10,4 (lít).

Bài 9. Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc $60{}^\circ $như hình bên. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là $30cm$ và tổng thể tích của đồng hồ là $\text{1000}\pi \text{ }c{{m}^{3}}$.

Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải

Gọi $x$(cm) là chiều cao của hình nón phía trên của đồng hồ cát ( $0 < x < 30$)

Chiều cao của hình nón phía dưới của đồng hồ cát là $30 – x$ (cm)

Bán kính mặt đáy của hình nón phía trên là $\frac{x}{tan{{60}^{\circ }}}$(cm)

Bán kính mặt đáy của hình nón phía dưới là $\frac{(30\text{ - }x)}{tan{{60}^{\circ }}}$(cm)

Vì tổng thể tích của đồng hồ cát là 1000 nên ta có phương trình:

$\frac{\pi {{x}^{3}}}{3{{\tan }^{2}}{{60}^{0}}}+\frac{\pi {{\left( 30-x \right)}^{3}}}{3{{\tan }^{2}}{{60}^{0}}}=1000\pi$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-30x+200=0$

$\Leftrightarrow x = 10$ hoặc $x = 20$ (TMĐK)

Với $x = 10$ thì nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là $1:8$

Với $x = 20$ thì nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là $1:1$

TOÁN THỰC TẾ HÌNH TRỤ

Bài 1: Một hộp sữa ông thọ có chiều cao 12cm và đáy là hình tròn có đường kính 8cm. Tính thể tích hộp sữa (Đơn vị cm3, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn giải:

Bán kính đáy hình trụ là $\mathrm{R}=8: 2=4(\mathrm{~cm})$

Thể tích hộp sữa là:

$V=\pi \cdot {{R}^{2}}\cdot h=\pi \cdot {{4}^{2}}\cdot 12=603,1857\ldots =603,2\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)$

Bài 2: Người ta nhấn chìm hoàn toàn một quả trứng nhỏ vào một lọ thuỷ tinh có nước dạng hình trụ (hình vẽ). Diện tích đáy lọ thuỷ tinh là $12,8 \mathrm{~cm}^{2}$. Nước trong lọ dâng lên thêm $8,5 \mathrm{~mm}$. Hỏi thể tích của quả trứng là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Thể tích quả trứng đúng bằng thể tích khối nước dâng lên trong lọ.

Thể tích đó là: $V=\pi R^{2} h=12,8.0,85=10,88\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$.

Bài 3: Một hộp phô mai con bò cười gồm có 8 miếng, độ dày mỗi miếng là $20 \mathrm{~mm}$, nếu xếp chúng lại trên 1 đĩa thì thành hình trụ có đường kính $100 \mathrm{~mm}$.

a) Tính thể tích của 8 miếng phô mai.

b) Biết khối lượng của mỗi miếng phô mai là $15 \mathrm{~g}$, hãy tính khối lượng riêng của nó? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) (Biết khối lượng riêng của vật cho bởi công thức $d=\frac{P}{V},$ trong đó trọng lượng riêng của vật là$P=9,8 m,$ đơn vị N,với m là khối lượng vật đơn vị $\mathrm{kg}$; $\mathrm{V}$ là thể tích vật, đơn vị $\mathrm{m}^{3}$; d có đơn vị $\mathrm{N} / \mathrm{m}^{3}$ ).

Hướng dẫn giải:

Thể tích $V=3,14 h r^{2}=3,14.20 \cdot\left(\frac{100}{2}\right)^{2}=157000 \mathrm{~mm}^{3}$

Khối lượng riêng của hộp phô mai là $d=\frac{P}{V}=8 \cdot \frac{9,8.0,015}{0,000157}=7490 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}$.

Bài 4: Có hai lọ thủy tinh hình trụ, lọ thứ nhất phía bên trong có đường kính đáy là $30 \mathrm{~cm}$, chiều cao $20 \mathrm{~cm}$ đựng đầy nước, lọ thứ hai bên trong có đường kính đáy là $40 \mathrm{~cm}$, chiều cao $12 \mathrm{~cm}$. Hỏi nếu đổ hết nước từ lọ thứ nhất sang lọ thứ hai nước có bị tràn ra ngoài không? Tại sao?

Hướng dẫn giải:

Thể tích của lọ thứ nhất: $\mathrm{V}_{1}=\pi \cdot r^{2} \cdot h=\pi \cdot\left(\frac{30}{2}\right)^{2} \cdot 20=4500 \pi$

Thể tích của lọ thứ hai: $\mathrm{V}_{2}=\pi \cdot r^{2} \cdot h=\pi \cdot\left(\frac{40}{2}\right)^{2} \cdot 12=4800 \pi$

Ta thấy$\mathrm{V}_{2}>\mathrm{V}_{1}(4800 \pi>4500 \pi)$ nên nếu đổ hết nước từ lọ thứ nhất sang lọ thứ hai nước không bị tràn ra ngoài.

Bài 5: Cô Năm muốn xây một bể nước bê tông hình trụ có chiều cao là 1, 6m ; bán kính lòng bể (tính từ tâm bể đến mép trong của bể là $r=1 m$, bề dày của thành bể là $10 \mathrm{~cm}$ và bề dày của đáy bể là $5 \mathrm{~cm}$. Hỏi:

a) Bể có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước ( biết thể tích hình trụ bằng $\pi \cdot r^{2} h$ với $r$ là bán kính đáy; $h$ là chiều cao hình trụ $; \pi \approx 3,14$ ).

b) Nếu cô Năm có 1,3 triệu đồng thì có đủ tiền mua bê tông tươi để xây bể nước trên không?Biết giá $1 \mathrm{~m}^{3}$ bê tông tươi là một triệu đồng.

Hướng dẫn giải

a) $h=1,6m=16dm;{{h}^{\prime \prime }}=0,5dm;{{h}^{\prime }}=16-5=15,5dm;r=1m=10dm;R=11dm\quad $

Bể có thể chứa nhiều nhất: $\pi \cdot r^{2} h=3,14.10^{2} .15,5=4867 d m^{3}$ hay 4867 (lít nước).

b) Thể tích bê tông:

$\pi \cdot\left(R^{2}-r^{2}\right) h^{\prime}+\pi \cdot R^{2} \cdot h^{\prime \prime}=3,14 \cdot\left(11^{2}-10^{2}\right) \cdot 15,5+3,14 \cdot 11^{2} \cdot 0,5=1212,04 d m^{3} \approx 1,212 m^{3} 0,25 \mathrm{~d}$

Số tiền cần mua bê tông khoảng 1,212 triệu đồng.

Vậy cô Năm đủ tiền đề xây bể trên.

Bài 6: Từ một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước $60 \mathrm{~cm} \times 200$ $\mathrm{~cm}$, người ta làm một thùng nước hình trụ có chiều cao bằng $60~\text{cm}$, bằng cách gò tấm nhôm ban đầu thành mặt xung quanh của thùng (như hình vẽ), đáy và nắp làm bằng tấm nhôm khác (giả sử các mối nối có kích thước không đáng kể). Tính bán kính của hình tròn đáy (kết quả là số đúng không làm tròn) và thể tích của thùng (làm tròn đển hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

+ Độ dài đường tròn đáy: $2 \pi \mathrm{R}=200 \Rightarrow$ bán kính hình tròn đáy $\text{R}=\frac{100}{\pi }(\text{cm})\quad $

+ Vậy thể tích của thùng: $\mathrm{V}=\pi\left(\frac{100}{\pi}\right)^{2} .60=\frac{600000}{\pi} \approx 190985,9317$\approx 190986\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)$

Bài 7: Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột trụ tròn gồm 10 cây cột của một biệt thự. Trước khi hoàn thiện, mỗi cây cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ đều có đáy là tứ giác có cạnh $20 \mathrm{~cm}$; sau khi hoàn thiện ( bằng cách trát vữa hỗn hợp vào xung quanh), mỗi cột là một khối trụ tròn có đường kính $50 \mathrm{~cm}$ cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 4m. Biết lượng xi  măng cần dùng bằng $80 \%$ lượng vữa và cứ một bao xi măng $50 \mathrm{~kg}$ thi tương đương với $65000 \mathrm{~cm}^{3}$ xi măng.

a) Mỗi cây cột bê tông cốt thép ban đầu có thể tích bao nhiêu? (biết $\mathrm{V}=\mathrm{S.h},$ trong đó $\mathrm{S}$ là diện tích đáy, h là chiều cao cùa lăng trụ)

b) Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bao xi măng loại $50 \mathrm{~kg}$ để hoàn thiện hệ thống cột của căn biệt thự trên?

Hướng dẫn giải

Đổi $4 m=400 \mathrm{~cm}$

a) Vì cột bê tông là lăng trụ đều nên đáy là hình vuông cạnh $20 \mathrm{~cm}$

Diện tích đáy là : $S=20^{2}=400 \mathrm{~cm}^{2}$.

Thể tích cột bê tông ban đầu là : $V=S . h=400.400=160000\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$

b) Thể tích của cột bê tông sau khi hoàn thiện là :

$V=S . h=\pi R^{2} h=\pi\left(\frac{50}{2}\right)^{2} .400=250000 \pi\left(\mathrm{cm}^{3}\right)$

Diện tích phần vữa trát vào là : $250000 \pi-160000\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$

Lượng xi măng cần dùng là :

$80 \%(250000 \pi-160000)=200000 \pi-128000\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$

Số bao xi măng là : $\frac{200000 \pi-128000}{65000} \approx 7,697$

Vậy cần ít nhất là 8 bao xi măng đề hoàn thiện 10 cây cột.

Bài 8: Bác Hùng xây một hồ cá hình trụ, đáy của hồ là một hình tròn có đường kính $2 \mathrm{~m}$, người ta đo được mực nước có trong hồ cao $0,6 \mathrm{~m}$.

a) Tính thể tích nước có trong hồ.

b) Người ta bỏ một số lượng sỏi đá vào hồ, làm mực nước trong hồ dâng cao thêm $0,1 \mathrm{~m} .$ Hỏi thể tích lượng sỏi đá trong hồ chiếm bao nhiêu?

(Thể tích hình trụ: $V=\pi R^{2} h ; \pi=3,14 ; R$ là bán kính đáy, $h$ chiều cao hình trụ. Kết quả làm tròn một chữ số thập phân)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $R=2: 2=1(\mathrm{~m})$

Thể tích nước có trong hồ: $V=\pi R^{2} h=\pi .1^{2} .0,6=0,6 \pi \approx 1,9\left(\mathrm{~m}^{3}\right)$

b) Thể tích lượng sỏi đá trong hồ chiếm là: $V=\pi R^{2} h^{\prime}=\pi \cdot 1^{2} .0,1=0,1 \pi \approx 0,3\left(\mathrm{~m}^{3}\right)$.

Bài 9. Có một chai đựng nước suối như trong hình vẽ. Bạn An đo đường kính của đáy chai bằng 6cm, đo chiều cao của phần nước trong chai được 9cm rồi lật ngược chai và đo chiều cao của phần hình trụ không chứa nước được 7cm (hình minh họa)

a) Tính thể tích lượng nước trong chai

b) Tính thể tích chai

Hướng dẫn giải

a) Bán kính của đáy chai là: $r=\frac{6}{2}=3cm$

Thể tích lượng nước trong chai là: $V_{1}=\pi.r^{2}.h=3,14.3^{2}.9=254,34 cm^{3}$

b) Thể tích của của phần chai không chứa nước là:

$V_{2}=\pi.r^{2}.h=3,14.3^{2}.7=197,82 cm^{3}$

Thể tích của chai nước là:

$V=V_{1}+V_{2}=254,34+197,82=452,16cm^{3}$.

Bài 10: Một dụng cụ trộn bê tông gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón. Các kích thước cho trên hình bên. Hãy tính:

a) Thể tích của dụng cụ này.

b) Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp đậy).

Hướng dẫn giải:

a) Thể tích phần hình trụ: ${{V}_{1}}=\pi .0,{{7}^{2}}.0,7=0,343\pi ({{m}^{3}})$

Thể tích phần hình nón${{V}_{2}}=\frac{1}{3}\pi .0,{{7}^{2}}.0,9=0,147\pi ({{m}^{3}})$.

Vậy Thể tích của dụng cụ này: $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=0,343\pi +0,147\pi =0,49\pi \,\left( {{m}^{3}} \right)$.

b) Diện tích xung quanh dụng cụ là:

${{S}_{xq}}={{S}_{ht}}+{{S}_{hn}}=2\pi .r.h+\pi rl$

$=2\pi .0,7.0,7+\pi .0,7.\sqrt{0,{{7}^{2}}+0,{{9}^{2}}}=\left( \frac{49}{50}+\frac{7\sqrt{130}}{100} \right)\pi \,\left( {{m}^{2}} \right)$.

TOÁN THỰC TẾ HÌNH CẦU

Bài 1. Cần phải có ít nhất bao nhiêu lít nước để thay nước ở liễn nuôi cá cảnh ? Liễn được xem như một phần mặt cầu có đường kính $22 \mathrm{~cm}$. Lượng nước đổ vào liễn chiếm $\frac{2}{3}$ thể tích của hình cầu. (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

hình trụ hình nón hình cầu

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$V_{\text {cau }}=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \pi\left(\frac{d}{2}\right)^{3}=\frac{4}{3} \pi\left(\frac{22}{2}\right)^{3} \approx 5575,3\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$

Mà ${{V}_{\text{lien }}}=\frac{2}{3}{{V}_{\text{cau }}}=\frac{2}{3}\cdot 5575,3\approx 3716,9\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)$

Vậy thể tích nước ít nhất dùng đề thay nước ở liễn nuôi cá là $3716,9\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$.

Bài 2. Đặt quả bóng vào trong một hộp hình lập phương sao cho quả bóng tiếp xúc với các mặt của hình lập phương đó. Hãy tính thể tích V của quả bóng, biết thể tích hình khối lập phương $V'=8000c{{m}^{3}}$

Hướng dẫn giải:

Đường kính của quả bóng là độ dài một cạnh của hình lập phương được tính: $\sqrt[3]{8000}=20\,\,cm$.

Bán kính của quả bóng là: $r=\frac{20}{2}=10\,cm$.

Thể tích của quả bóng là: ${{V}_{\text{cau }}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{10}^{3}}=4188,8\,\,c{{m}^{3}}$

Bài 3. Tính thể tích không khí $\left(\mathrm{km}^{3}\right.$) trong tầng đối lưu của trái đất biết rằng bán kính trái đất là khoảng $6371 \mathrm{~km}$ và tầng đối lưu được tính từ mặt đất cho đến khoảng $10 \mathrm{~km}$ so với mặt đất. (làm tròn đến $\mathrm{km}^{3}$ ).

Hướng dẫn giải:

Thể tích không khí $\left(\mathrm{km}^{3}\right)$ trong tầng đối lưu của trái đất là thể tích phần nằm giữa khối cầu có bán kính $6371+10=6381 \mathrm{~km}$ và khối cầu có bán kính $6371 \mathrm{~km}$.

Vậy thể tích không khí (km $^{3}$ ) trong tầng đối lưu là:

$V=\frac{4}{3} \pi \cdot 6381^{3}-\frac{4}{3} \pi \cdot 6371^{3} \simeq 5108654943 \mathrm{~km}^{3}$.

Bài 4. Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (hình vẽ ). Hãy tính thể tích của bồn chứa theo các kích thước cho trên hình vẽ.

Hướng dẫn giải:

Thể tích của bồn chứa bằng tổng thể tích của một hình trụ (có bán kính đáy $0,9 \mathrm{~m}$ và chiều cao $3,62 \mathrm{~m}$ ) và thể tích của một hình cầu bán kính $0,9 \mathrm{~m}$.

Thể tích của bồn chứa là:

$V=\pi \cdot(0,9)^{2} \cdot 3,62+\frac{4}{3} \pi \cdot(0,9)^{2} \approx 12,26\left(m^{3}\right)$.

Bài 5. Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình vẽ (đơn vị : cm)

a) Tìm một hệ thức giữa $x$ và $h$ khi $A A^{\prime}$ có độ dài không đôi và bằng 2a.

b) Với điều kiện ở câu a), hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết máy theo x và a.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $h+2 x=A A^{\prime} .$ Do đó $h+2 x=2 a$.

b) Diện tích bề mặt chi tiết máy là:

$S=2 \pi x h+4 \pi x^{2}=2 \pi x(h+2 x)=4 \pi a x$

Thể tích của chi tiết máy là:

$V=\pi x^{2} h+\frac{4}{3} \pi x^{3}=2 \pi x^{2}(a-x)+\frac{4}{3} \pi x^{3}=2 \pi a x^{3}-\frac{2}{3} \pi x^{3} .$

Bài 6. Trái bóng Telstar xuất hiện lần đầu tiên ở World Cup 1970 ở Mexico do Adidas sản xuất có đường kính 22,3cm. Trái bóng được may từ 32 múi da đen và trắng. Các múi da màu đen hình ngũ giác đều, các múi da màu trắng hình lục giác đều. Trên bề mặt trái bóng, mỗi múi da màu đen có diện tích $37 \mathrm{~cm}^{2}$, Mỗi múi da màu trắng có diện tích $55,9 \mathrm{~cm}^{2}$.

Hãy tính trên trái bóng có bao nhiêu múi da màu đen và màu trắng?

Hướng dẫn giải:

Trước tiên ta tính diện tích bề mặt trái bóng: $S=4 \pi r^{2}$ với $r=\frac{22,3}{2}=11,15$.

Vậy $S \approx 1562,28\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$

Gọi $x, y\left(x, y \in \mathbb{N}^{*}\right)$ lần lượt là số múi da đen và trắng trên trái bóng Telstlar. Khi đó vì 32 múi da đen và trắng phủ kín bề mặt trái bóng nên ta có biểu thức : $37 x+55,9 y=6249,13$

Lại có số múi da đen và trắng tồng cộng là 32 nên ta có : $x+y=32$

Vậy ta có hệ pt sau

$\left\{\begin{array}{l}x+y=32 \\ 37 x+55,9 y=6249,13\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=32-y \\ 37(32-y)+55,9 y=1562,28\end{array}\right.\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=32-y \\ 18,9 y=378,28\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=12 \\ y=20\end{array}\right.\right.$

Vậy có tất cả 12 múi da đen và 20 múi da trắng.

Bài 7. Cuối năm học, các bạn lớp 9A chia làm hai nhóm, mỗi nhóm chọn một khu vườn sinh thái ở Bắc bán cầu để tham quan. Khi mở hệ thống định vị GPS, họ phát hiện một sự trùng hợp khá thú vị là hai vị trí mà hai nhóm chọn đều nằm trên cùng một kinh tuyến và lần lượt ở các vĩ tuyến $47^{\circ}$ và $72^{\circ}$

a) Tính khoảng cách (làm tròn đến hàng trăm) giữa hai vị trí đó, biết rằng kinh tuyến là một cung tròn nối liền hai cực của trái đất và có độ dài khoảng $20000 \mathrm{~km}$.

b) Tính (làm tròn đến hàng trăm) độ dài bán kính và đường xích đạo của trái đất. Từ kết quả của bán kính (đã làm tròn), hãy tính thể tích của trái đất có dạng hình cầu và thể tích hình cầu được tính theo công thức $\mathrm{V}=\frac{4}{3} .3,14 . R^{3}$ với $R$ là bán kính hình cầu.

Hướng dẫn giải:

a) Tính khoảng cách (làm tròn đến hàng trăm) giữa hai vị trí đó, biết rằng kinh tuyến là một cung tròn nối liền hai cực của trái đất và có độ dài khoảng 20000 km.

Ta tính độ dài cung AB.

Có $\widehat{XOA}={{47}^{{}^\circ }},\widehat{XOB}={{72}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{AOB}={{72}^{{}^\circ }}-{{47}^{{}^\circ }}={{25}^{{}^\circ }}$

${{l}_{AB}}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{20000.25}{180}\approx 2800(\text{Km})$

b) Tính (làm tròn đến hàng trăm) độ dài bán kính và đường xích đạo của trái đất. Từ kết quả của bán kính (đã làm tròn), hãy tính thể tích của trái đất có dạng hình cầu và thể tích hình cầu được tính theo công thức $\mathrm{V}=\frac{4}{3} .3,14 . R^{3}$ với $R$ là bán kính hình cầu.

Có $R=\frac{20000}{\pi} \approx 6400(\mathrm{~km})$

Độ dài đường xích đạo của trái đất: $2.20000=40000$ (Km)

$\text{V}=\frac{4}{3}\cdot 3,14\cdot {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\cdot 3,14,{{\left( {{64.10}^{2}} \right)}^{3}}\approx 1097509,{{547.10}^{6}}$

$\text{V }\!\!\hat{\mathrm{a}}\!\!\text{ y }V\approx 1097509547000\left( ~\text{k}{{\text{m}}^{3}} \right)$

Bài 8. Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát bằng thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với các kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này (phần không tô màu làm bằng thủy tinh). Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

Hướng dẫn giải:

Thể tích của hình trụ là $V_{1}=\pi r^{2} h=\pi .6,6^{2} .13,2=1806,39 \mathrm{~cm}^{3}$.

Bán kính của hình cầu chứa cát là: $R=\frac{13,2-2}{2}=5,6 cm$

Thể tích hình cầu chứa cát là $V_{2}=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \pi\left(5,6\right)^{3}=735,62 \mathrm{~cm}^{3}$.
Vậy lượng thủy tinh cần phải làm là $V=V_{1}-V_{2}=1070,77 \mathrm{~cm}^{3}$.

Bài 9. Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm 1000 chiếc kem giống nhau theo đơn đặt hàng. Cốc đựng kem có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang ABCD vuông tại A và D xung quanh trục AD (xem hình vẽ). Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao 7,2 cm, đường kính miệng cốc bằng 6,4 cm, đường kính đáy cốc bằng 1,6 cm. Kem được đổ đầy cốc và dư ra phía ngoài một lượng có dạng nửa hình cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Hỏi cơ sở đó cần dùng lượng kem là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Thế tích của một chiếc kem cần tính bao gồm
Thể tích của hình nón cụt có bán kính đáy lớn $R_{1}=\frac{6,4}{2}=3,2 \mathrm{~cm}$, bán kính đáy nhỏ $r_{1}=\frac{1,6}{2}=0,8 \mathrm{~cm}$ và
chiều cao $h=7,2 \mathrm{~cm}$.
Thể tích của nửa khối cầu có bán kính $\mathrm{R}_{1}=3,2 \mathrm{~cm}$ là: $V_{1}=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3} \pi R^{3}\right)=68,6 \mathrm{~cm}^{3}$

Thể tích của hình nón cụt là:

$V_{2}=\frac{1}{3} \pi h\left(R_{1}^{2}+R_{1} r_{1}+r_{1}^{2}\right)=101,3 \mathrm{~cm}^{3}$.

Suy ra thể tích của một chiếc kem là:

$V=V_{1}+V_{2}=68,6+101,3 \approx 170 \mathrm{~cm}^{3}$.
Vậy thể tích của 1000 chiếc kem là $170.10^{3} \mathrm{~cm}^{3}=170 \mathrm{dm}^{3}$.