BÀI 4: BÀI TOÁN THỰC TẾ GIẢI BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Trong bài học này chúng ta sẽ đi tìm hiểu về các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình trong chương 4 phương trình bậc hai dành cho học sinh lớp 9 đang ôn thi tuyển sinh vào lớp 10.

Bài giảng toán thực tế giải bằng cách lập phương trình.

>>Xem tiếp: Bài 5. TOÁN THỰC TẾ THUẾ VÀ TIỀN BẠC

>>Xem đầy đủ các bài học tại đây: TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10

>> Tham gia ngay group học tập trên facebook: Nhóm Hệ thống toán 9 – ôn thi vào 10

CHỦ ĐỀ 5: TOÁN THỰC TẾ GIẢI BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

A. KIN THỨC CN NH

1. Hàm số bậc hai : y = ax² (a ≠ 0)

  • Tính chất:
    • Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.
    • Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
  • Đồ thị: Đồ thị là một đường cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0).
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.  

2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1: - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn (thường đề hỏi gì thì đặt cái đó làm ẩn).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập các phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: - Giải phương trình
Bước 3: - Chọn kết quả thích hợp và trả lời.

  • Đối với phương trình bậc hai $\text{a}{{\text{x}}^{2}}+b\text{x}+c=0\,\,(a\ne 0)$ và biệt thức $\Delta ={{b}^{2}}-4\text{a}c$:
  • Nếu $\Delta >0$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2\text{a}};\,{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2\text{a}}$.
  • Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{b}{2\text{a}}$.
  • Nếu $\Delta <0$ thì phương trình vô nghiệm.

B. VÍ DỤ MINH HỌA

I/ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

    • Dạng toán chuyển động

Ví dụ 1: Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm $\mathrm{B}$ dài $240 \mathrm{~km} .$ Mỗi giờ Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn Ô tô thứ hai $12 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ nên đến địa điểm $\mathrm{B}$ trước Ô tô thứ hai là 100 phút. Tính vận tốc của mỗi Ô tô.

Hướng dẫn Giải

Đổi 100 phút = $\frac{5}{3}$ giờ

Gọi vận tốc của Ô tô thứ hai là $x(\mathrm{~km} / \mathrm{h}) .(\mathrm{x}>0)$

Ta có vận tốc của Ô tô thứ nhất là $x+12 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.

Thời gian Ô tô thứ hai đi hết quãng đường $\mathrm{AB}$ là: $\frac{240}{x}$ ( h).

Thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đường $\mathrm{AB}$ là: $\frac{240}{x+12}$ ( h).

Vì Ô tô thứ nhất đến địa điểm B trước Ô tô thứ hai là 100 phút do đó ta có PT:

$\frac{240}{x}-\frac{240}{x+12}=\frac{5}{3}\Leftrightarrow \frac{2880}{x(x+12)}=\frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow x(x+12)=\frac{2880.3}{5}$
$\Leftrightarrow x(x+12)=1728$
$\Leftrightarrow x^{2}+12x-1728=0$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=36 \ \text{(nhận)}\\x=-48 \ \text{(loại)}\end{matrix}\right.$

Vậy vận tốc của Ô tô thứ nhất $48 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, Ô tô thứ hai là $36 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.

Ví dụ 2. Một Ca nô xuôi dòng $42 \mathrm{~km}$ rồi ngược dòng trở lại $20 \mathrm{~km}$ hết tổng cộng 5 giờ. Biết vận tốc của dòng chảy là $2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.$ Tính vận tốc của Ca nô lúc dòng nước yên lặng.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của Ca nô khi nước yên lặng là $x(km/h) (x>2)$
Vận tốc Ca nô khi đi xuôi dòng: $x+2(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$.
Vận tốc Ca nô khi đi xuôi dòng: $x-2(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$.

Thời gian Ca nô đi xuôi dòng là: $\frac{42}{x+2}$ (h).

Thời gian Ca nô đi ngược dòng là: $\frac{20}{x-2}$ (h).

Vì tổng thời gian cả xuôi dòng và ngược dòng là 5 giờ do đó ta có phương trình: $\frac{42}{x+2}+\frac{20}{x-2}=5$.

Giải PTBH: $5 x^{2}-62 x+24=0$ ta được: $x=12$ (TM).

Vậy vận tốc Ca nô khi nước yên lặng là: $12 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.

  • Dạng toán công việc chung, công việc riêng

Ví dụ 3. Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày được 52 ha, vì vậy đội không những cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch.

Hướng dẫn giải

Gọi diện tích mà đội phải cày theo kế hoạch là x ( ha ), ( $x>0$ ).

Thời gian đội dự định cày là: $\frac{x}{40}$ ( giờ ).

Diện tích mà đội thực tế đã cày là: $(\mathrm{x}+4),$ ( ha ).

Thời gian mà đội thực tế đã cày là: $\frac{x+4}{52}$ (giờ).

Vì khi thực hiện đội đẵ cày xong trước thời hạn 2 ngày do đó ta có phương trình: $\frac{x}{40}-\frac{x+4}{52}=2$

Giải phương trình trên ta được $x=360 .$

Vậy diện tích mà đội dự định cày theo kế hoạch là: 360 ha.

  • Dạng toán năng suất

Ví dụ 4. Trong tháng 1 hai tổ làm được 900 sản phẩm sang tháng 2, tổ 1 làm vượt mức $15 \%$ và tổ 2 vượt mức $10 \%$ vì vậy 2 tổ làm được 1010 sản phẩm. Hỏi trong tháng 1 mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm.

Hướng dẫn giải

Gọi số sản phẩm tổ 1 làm trong tháng đầu là $x$. Điều kiện x thuộc $\mathrm{N}^{*}$

Vậy số sản phẩm tổ 2 làm trong tháng 1 là $900-x$

Sang tháng 2 tổ 1 làm $(100 \%+15 \%).x=1,15x$

Tổ 2 làm được $(100 \%+10 \%).(900 - x)=1,1.(900-x)$. Vì tháng 2 cả hai tổ làm được 1010 sản phẩm nên ta có phương trình:  $\mathrm{PT} 1,15 \mathrm{x}+1,1(900-\mathrm{x})=1010$

Giải ra ta được tháng 1 tổ 1 làm được 400 sản phẩm,  tổ 2 làm được 500 sản phẩm.

Ví dụ 5. Trong tháng 3, cả hai tổ A và B sản xuất được 400 sản phẩm. Trong tháng 4, tổ A làm vượt 10% và tổ B làm vượt 15% so với tháng 3, nên cả hai tổ sản xuất được 448 sản phẩm. Hỏi trong tháng 3 mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?

Hướng dẫn giải

Gọi $x(x>0, x \in \mathbb{Z})$ là số sản phầm mà tổ A sản xuất được trong tháng ba.

Số sản phẩm tổ B sản xuất được trong tháng ba là $400 -x.$

Theo đề bài ta có:

$0,1x+0,15.(400-x)=448-400\Leftrightarrow \text{ }0,05x=12\Leftrightarrow \text{ }x=240$

Vậy số sản phẩm sản xuất trong tháng ba của tổ A là 240 và tổ B là 160.

  • Dạng toán sử dụng kiến thức hình học

Ví dụ 6. Một khu vườn Hình chữ nhật có chu vi $280 \mathrm{~m}$. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất vườn ) rộng $2 \mathrm{~m}$, diện tích còn lại để trồng trọt là $4256 \mathrm{~m}^{2}$. Tính kích thước ( các cạnh) của khu vườn đó

Hướng dẫn giải

Gọi một cạnh của khu vườn là $x,(m), x<140$

Ta có cạnh còn lại của khu vườn là: $(140-\mathrm{x})$. Do lối xung quanh vườn rộng $2 \mathrm{~m}$ nên các kích thước các cạnh còn lại để trồng trọt là: $(\mathrm{x}-4),(140-\mathrm{x}$ -4)$(\mathrm{m})$

Vì diện tích còn lai để trồng trọt là $4256 \mathrm{~m}^{2}$ do đó ta có phương trình:

$(\text{x}-4)\cdot (140-\text{x}-4)=4256\text{ }\Leftrightarrow {{x}^{2}}-140x+4800=0$

Giải PT trên ta được $x_{2}=80, x_{2}=60 .$

Vậy các cạnh của khu vườn Hình chữ nhật là $80 \mathrm{~m}, 60$ $\mathrm{m}$.

  • Dạng toán tìm số

Ví dụ 7. Trong dịp kỷ niệm 57 năm ngày thành lập nước CHXHCN Việt Nam 180 học sinh được điều về thăm quan diễu hành, người ta tính. Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lượt hết số học sinh thì phải điều động ít hơn dùng loại xe nhỏ là 2 chiếc. Biết rằng mỗi ghế ngồi 1 học sinh và mỗi xe lớn nhiều hơn xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn, nếu loại xe đó được huy động.

Hướng dẫn giải

Gọi số Xe lớn là $x$ (chiếc), $x$ nguyên dương. Ta có số Xe nhỏ là: $x+2$.
Ta có số học sinh Xe lớn chở được là: $\frac{180}{x}$ ( HS).

Ta có số học sinh Xe nhỏ chở được là: $\frac{180}{x+2}$ ( tấn).
Vì mỗi Xe lớn chở được số học sinh nhiều hơn số Xe nhỏ là 15 học sinh do đó ta có phương trình:

$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+2}=15 ;$

Giải phương trình ta được $x=4$(nhận); Vậy số Xe lớn là 4

Ví dụ 8. Một phòng họp có 250 chỗ ngồi được chia thành từng dãy, mỗi dãy có số chỗ ngồi như nhau. Vì có đến 308 người dự họp nên ban tổ chức phải kê thêm 3 dãy ghế, mỗi dãy ghế phải kê thêm một chỗ ngồi thì vừa đủ. Hỏi lúc đầu ở phòng họp có bao nhiêu dãy ghế vả mỗi dãy ghế có bao nhiêu chỗ ngồi?

Hướng dẫn giải

Gọi x là số dãy ghế lúc đầu $\left(x \in N^{*}, 250: x\right)$

Số chỗ ngồi trên mỗi dãy ghế lúc đầu: $\frac{250}{x}$ (chỗ)

Số dãy ghế lúc sau: $x+3$ (dãy)

Số chỗ ngồi lúc sau: $\frac{308}{x+3}$ (chỗ )

Vì số chỗ ngồi trên mỗi dãy ghế lúc sau hơn số chỗ ngồi trên mỗi dãy ghế lúc đầu là 1 chỗ (kê thêm vào mỗi dãy 1 chỗ ngồi), nên ta có phương trình:
$\frac{308}{x+3}-\frac{250}{x}=1$
$\Leftrightarrow 308 x-250(x+3)=x(x+3)$
$\Leftrightarrow 308 x-250 x-750=x^{2}+3 x$
$\Leftrightarrow x^{2}-55 x+750=0$
$\Leftrightarrow x^{2}-30 x-25 x+750=0$
$\Leftrightarrow x(x-30)-25(x-30)=0$
$\Leftrightarrow(x-30)(x-25)=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-30=0 \\ x-25=0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=30(l) \\ x=25(n)\end{array}\right.\right.$
Vậy lúc đầu ở phòng họp có 25 dãy ghế. Mỗi dãy ghế có $\frac{250}{25}=10$ chỗ ngồi.

II/ BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ HÀM SỐ BẬC HAI

Ví dụ 1. Một vận động viên bơi lội nhảy cầu (xem hình 5).

Khi nhảy, độ cao h từ người đó tới mặt nước (tính bằng mét) phụ thuộc vào khoảng cách x từ điểm rơi đến chân cầu (tính bằng mét) bởi công thức :

\[\text{ }\!\!~\!\!\text{ }h=-{{(x-1)}^{2}}+4\]

Hỏi khoảng cách x bằng bao nhiêu 

a) Khi vận động viên ở độ cao 3m ?

b) Khi vận động viên chạm mặt nước ?

Hướng dẫn giải

a/ $3=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+4$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x=0$

Suy ra: ${{x}_{1}}=0,{{x}_{2}}=2$

Vì $x>0$ nên $x=0$

b/ Khi vận động viên chạm mặt nước thì $h = 0.$

Nên: $-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+4=0$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0$

Suy ra: ${{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=3$

Vì $x>0$nên $x =3$.

Ví dụ 2. Trong một hồ nước tạo cảnh hình tròn, người ta thiết kế các vòi phun nước xung quanh hồ nước sao cho khi phun thì các tia nước tạo thành có hình dạng các parabol và rơi vào tâm hồ nước. Giả sử khi phun các tia nước có hình dạng như đồ thị (P):$y=-2{{x}^{2}}$, điểm cao nhất của tia nước 2m. Hãy tính bán kính đường tròn hồ nước ? 

 

Bài giải

Vòi nước phun có dạng $y = -2x^{2}$, phun cao 2m nên $y=-2$ suy ra $x=\pm 1$.

Vậy bán kính đường tròn ống nước  | 1| + | -1| = 2m.

Ví dụ 3. Một xe tải chở hàng có thùng hàng phía sau dạng hình hộp chữ nhật (xem hình vẽ) với chiều rộng $2,4 \mathrm{~m}$ và chiều cao $2,6 \mathrm{~m}$ đi qua cái cổng hình parabol có phương trình $y=a x^{2}$. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là $6 \mathrm{~m}$ và chiều cao tối đa của cổng là $4,5 \mathrm{~m}$.

a) Viết phương trình của Parabol.

b) Hỏi xe tải có đi qua được cổng không? Giải thích.

Bài giải

a) Theo bài ra, chọn hệ trục như hình vẽ, vì khoảng cách giữa hai chân cổng là $6 \mathrm{~m}$ ta có đồ thị của hàm số bậc hai có phương trình cần tìm đi qua hai điểm $A(-3 ;-4,5), B(3 ;-4,5)$.

Thay tọa độ của $A$ vào phương trình, ta được: $-4,5=a \times 3^{2} \Leftrightarrow a=\frac{-1}{2}$.

Vậy phương trình vòm cổng cần tìm là $y=\frac{-1}{2} x^{2}$.

b) Vì chiều cao của xe tải là $2,6 \mathrm{~m}$ nên khoảng cách giữa đỉnh của vòm cổng và nóc của xe tải là $4,5-2,6=1,9 \mathrm{~m}$.

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol $y=\frac{-1}{2} x^{2}$ và đường thẳng $y=-1,9$ là:

$\frac{-1}{2} x^{2}=-1,9 \Leftrightarrow x^{2}=3,8 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\sqrt{3,8} \\ x=-\sqrt{3,8}\end{array}\right.$.

Vậy ta có thêm hai điểm $H(\sqrt{3,8} ; 1,9)$ và $G(-\sqrt{3,8} ; 1,9)$ cũng thuộc đồ thị hàm số. Mà khoảng cách giữa hai điểm này là $\sqrt{3,8}-(-\sqrt{3,8})=2 \sqrt{3,8} \approx 3,9$.

Mặt khác, chiều rộng của xe tải là $2,4 \mathrm{~m}<3,9 \mathrm{~m}$ nên xe tải có thể đi qua cầu được.

I/ TOÁN THỰC TẾ GIẢI BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán 1  

Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là $5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội $300 \mathrm{~km}$. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quãng đường sắt Huế - Hà Nội dài $645 \mathrm{~km} .$

Bài toán 2

Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km. Lúc 6 giờ một xe máy đi từ A để tới B Lúc 6 giờ 30 phút cùng ngày, một ô tô cũng đi từ A để tới B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h (Hai xe chạy trên cùng một con đường đã cho). Hai xe nói trên đều đến B cùng lúc. Tính vận tốc mỗi xe.

Bài toán 3

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là $60 \mathrm{~km}$. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ bến A đến bến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngược dòng $25 \mathrm{~km}$ để đến bến C. Thời gian kề từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến $C$ hết tất cả là 8 giờ. Tính vận tốc xuồng máy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là $1 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.

Bài toán 4

Hai cạnh của một mảnh đất hình chữ nhật hơn kém nhau $10 \mathrm{~m}$. Tính chu vi của mảnh đất ấy, biết diện tích của nó là $1200 \mathrm{~m}^{2}$.

Bài toán 5

Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Biết rằng nếu giảm mỗi chiều đi 2m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa. Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho.

Bài toán 6

Hai người cùng làm chung một công việc trong $\frac{12}{5}$ giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?

Bài toán 7

Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đường vào bản trong 4 giờ thì xong. Nếu làm riêng thì tổ 1 làm nhanh hơn tổ 2 là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc?

Bài toán 8

Hai đội công nhân làm một đoạn đường. Đội 1 làm xong một nửa đoạn đường thì đội 2 đến làm tiếp nửa còn lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đã đã làm là 30 ngày. Nếu hai đội cùng làm thì trong 72 ngày xong cả đoạn đường. Hỏi mỗi đội đã làm bao nhiêu ngày trên đoạn đường này?

Bài toán 9

Một đội máy xúc đuợc thuê đào $20000 \mathrm{~m}^{3}$ đất để mở rộng hồ Dầu Tiếng. Ban đầu đội dự định mỗi ngày đào một lượng đất nhất định để hoàn thành công việc, nhưng khi đào được $5000 \mathrm{~m}^{3}$đất thì đội tăng cường thêm một số máy xúc nên mỗi ngày đào thêm được $100 \mathrm{~m}^{3},$do đó hoàn thành công việc trong 35 ngày. Hỏi ban đầu đội dự đinh mỗi ngày đào bao nhiêu $m^{3}$đất?

Bài toán 10

Trong tháng 3, cả hai tổ A và B sản xuất được 400 sản phẩm. Trong tháng 4, tổ A làm vượt 10% và tổ B làm vượt 15% so với tháng 3, nên cả hai tổ sản xuất được 448 sản phẩm. Hỏi trong tháng 3 mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?

Bài toán 11

Một đội xe phải chở 168 tấn thóc. Nếu tăng thêm 6 xe và chở thêm 12 tấn thóc thì mỗi xe chở nhẹ hơn lúc đầu là 1 tấn. Hỏi lúc đầu mỗi đội có bao nhiêu xe?

Bài toán 12

Cận thị trong học đường có chiều hướng 2 gia tăng. Lóp 8A có 40 học sinh, trong đó có $\frac{2}{7}$ số học sinh nam và $\frac{1}{4}$ số học sinh nữ không bị cận thị. Biết tổng số học sinh nam và hoc sinh nữ không bị cận thị là 11. Tính số học sinh nam không bị cận thị.

Bài toán 13

Trong vườn sinh học của nhà trường, các em trong CLB Sinh học có thu hoạch được một số kilôgam (kg) cải Hà Lan và cải Newzealand. Trong đó 70% là cải Hà Lan, còn lại là cải Newzealand. Khối lượng cải Hà Lan nhiều hơn khối lượng cải Newzealand là 30 kg. Giá mỗi kg cải Hà Lan là 30 000đồng, giá mỗi kg cải Newzealand là 20 00 đồng. Hỏi các em trong CLB sinh học bán được bao nhiêu tiền từ số kg cải thu hoạch được ?

Bài toán 14

Trong một phòng họp có 70 người dự họp được sắp xếp ngồi vào các dãy ghế với số lượng người trên mỗi ghế là như nhau. Nếu trong phòng bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 4 người mới đủ chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế, và mỗi ghế ngồi bao nhiêu người?

Bài toán 15

Một công ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng từ cảng Dung Quất vào thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng hàng như nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế cần chuyển thêm 28 tấn hàng nên công ty đó phải điều động thêm một xe cùng loại và mỗi xe bây giờ phải chở thêm 1 tấn hàng mới đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định công ty đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe không chở quá 15 tấn. 

Bài toán 16

Sau khi gặp nhau tại một điểm  A  trên mặt biển, một tàu đi về phía Nam, một tàu đi về phía Đông theo phương vuông góc với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu kia  6 km/h. Hai giờ sau khi gặp nhau, hai tàu cách nhau  60 km. Tính vận tốc của mỗi tàu?

Bài toán 17

Tổng kết học kì II, trường trung học cơ sở N có 60 học sinh không đat học sinh giỏi, trong đó có 6 em từng đat học sinh giỏi trong học kì I; số học sinh giỏi học kì II bằng $\frac{40}{37}$ số học sinh giỏi học kì I và có $8 \%$ số học sinh của trường không đạt học sinh giỏi học kì I nhưng đạt học sinh giỏi học kì II. Tìm số học sinh giỏi học kì II của trường biết rằng số học sinh của trường không thay đổi trong suốt năm học.

Bài toán 18

Một phương pháp để xác định độ sâu của một cái giếng là thả một viên đá vào đó và sau đó đo mất thời gian cho đến khi nghe thấy tiếng vọng lại. Nếu d là độ sâu của giếng (tính bằng m) và $t_{1}$ thời gian (tính bằng giây) cần để hòn đá rơi thì $d=4,9{{t}_{1}}^{2}$, nên ${{t}_{1}}=\sqrt{\frac{d}{4,9}}$. Bây giờ nếu $t_{2}$ là thời gian cần thiết để âm thanh truyền ngược trở lại thì $d=343{{t}_{2}}^{{}}$ vì tốc độ âm thanh là 343m/s. Vì thế ${{t}_{2}}^{{}}=\frac{d}{343}$, Do đó, tổng thời gian từ khi thả viên đá đến khi nghe thấy âm thanh là

${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=\sqrt{\frac{d}{4,9}}+\frac{d}{343}$.

Hỏi giếng sâu bao nhiêu m nếu thời gian từ lúc ném viên đá đến khi nghe âm thanh là 3s.

II/ BÀI TẬP TOÁN THỰC TẾ VỀ HÀM SỐ BẬC HAI

Bài toán 19

Nếu một quả bóng được ném trực tiếp lên trên với vận tốc 10m/s, chiều cao của nó (tính bằng feet) sau t giây là được đưa ra bởi $y=10t-5{{t}^{2}}$

a) Tính chiều cao tối đa của quả bóng là bao nhiêu?

b) Sau bao lâu thì quả bóng chạm đất?

Bài toán 20

Lực F  (N) của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc của gió v(m/s) theo công thức $F  = kv^{2}$ ( k  là một hằng số). Đồ thị sau miêu tả lực của gió thổi vào cánh buồm khi vận tốc của gió thay đổi:

a) Dựa vào đồ thị, hãy tìm k.

b) Cánh buồm của  thuyền  chỉ  chịu  được  lực  tối  đa  là  2    Vậy  thuyền  có thể  ra khơi khi vận tốc của gió là 90km/h hay không? Nếu không thì thuyển có thể ra khơi lúc vận tốc gió tối đa là bao nhiêu km/h?

Bài toán 21

Một cây cầu bê tông được thiết kế với vòm có dạng một đồ thị của hàm số bậc hai $y=a x^{2}$. Khoảng cách giữa hai bờ là $120 \mathrm{~m}$ (xem hình vẽ) và độ cao của vòm so với đường thẳng nối hai đầu cầu tối đa là $50 \mathrm{~m}$ (xem hình minh họa). Viết phương trình vòm parabol? Biết gốc tọa độ đặt tại chính giữa cây cầu.

Bài toán 22

Một xe tải có chiều rộng 2,4 m và chiều cao $2,5 \mathrm{~m}$ muốn đi qua một cái cổng có hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là $4 \mathrm{~m}$ và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là $2 \sqrt{5} m$ (bỏ qua độ dày của cổng).

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy  gọi parabol  $y= ax^{2}$  với $a< 0$  hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh $a=- 1$

b) Hỏi xe tải có thể đi qua cổng có được không? Tại sao?

I/ ĐÁP ÁN TOÁN THỰC TẾ GIẢI BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán 1

Gọi $x(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$ là vận tốc của xe lửa thứ nhất đi từ Huế đến Hà Nội.

Khi đó, $\mathrm{x}>0$ và vận tốc của xe lửa thứ hai đi từ Hà Nội là: $x+5(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$.

Theo giả thiết, ta có phương trình:
$\frac{300}{x+5}+\frac{5}{3}=\frac{345}{x}$
$\Leftrightarrow 900 x+5 x(x+5)=1035(x+5) \Leftrightarrow x^{2}-22 x-1035=0$
Giải phương trình ta được: $x_{1}=-23$ (loại vì $x>0$ ) và $x_{2}=45>0$.

Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là: $45 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ và vận tốc xe lửa thứ hai là: $50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.

Bài toán 2

Xe máy đi trước ô tô thời gian là : 6 giờ 30 phút - 6 giờ = 30 phút = .

Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h) (x > 0)

Vì vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h nên vận tốc của ô tô là x + 15 (km/h)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường $\mathrm{AB}$ là : $\frac{90}{x}$ (h)

Thời gian ô tô đi hết quãng đường $\mathrm{AB}$ là : $\frac{90}{x+15}$ (h)

Do xe máy đi trước ô tô $\frac{1}{2}$ giờ và hai xe đều tới B cùng một lúc nên ta có phương trình:

$\frac{90}{x}-\frac{1}{2}=\frac{90}{x+15}$

$=>90.2 \cdot(x+15)-x(x+15)=90.2 x$

$\Leftrightarrow 180 x+2700-x^{2}-15 x=180 x$

$\Leftrightarrow x^{2}+15 x-2700=0$

Ta có:

$\Delta=15^{2}-4 \cdot(-2700)=11025>0$

$\sqrt{\Delta}=\sqrt{11025}=105$

$x_{1}=\frac{-15-105}{2}=-60$ (không thỏa mãn điều kiện)

$x_{2}=\frac{-15+105}{2}=45$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc của xe máy là 45 (km/h), vận tốc của ô tô là 45 + 15 = 60 (km/h).

Bài toán 3

Gọi $x(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$ là vận tốc của xuồng khi nước yên lặng. Điều kiện: $\mathrm{x}>1$.
Thời gian xuồng máy đi từ $\mathrm{A}$ đến $\mathrm{B}: \frac{60}{x+1}(\mathrm{~h}),$

Thời gian xuồng ngược dòng từ $\mathrm{B}$ về $\mathrm{C}: \frac{25}{x-1}(\mathrm{~h})$
Theo giả thiết ta có phương trình $: \frac{60}{x+1}+\frac{25}{x-1}+\frac{1}{2}=8$
Hay $3 x^{2}-34 x+11=0$
Giải phương trình trên, ta được các nghiệm: $x_{1}=11 ; \quad x_{2}=\frac{1}{3}$. Vì $\mathrm{x}>1$ nên $\mathrm{x}=11$.

Vậy vận tốc của xuồng khi nước đứng yên là $11 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.

Bài toán 4

Gọi $x$ (m) là chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật $(x>0)$.

Gọi $x+10$ (m) là chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật $(x>0)$.

Diện tích mảnh đất là: $x(x+10) \mathrm{m}^{2}$.

Theo đề, diện tích mảnh đất bằng $1200 \mathrm{~m}^{2}$ nên ta có phương trình:

$x(x+10)=1200 \Leftrightarrow x^{2}+x-1200=0$

Giải phương trình ta được $x=30 ; x=-40$ (loại nghiệm $x=-40$ vì không thỏa điều kiện).

Vậy, chiều rộng của mảnh đất là $30 \mathrm{~m}$, và chiều dài mảnh đất là $40 \mathrm{~m}$.

Bài toán 5

Gọi chiều dài của hình chữ nhật đã cho là x (m),với  x > 4.

 Vì chiều rộng bằng nửa chiều dài nên chiều rộng là: $\frac{x}{2}$ (m)

$=>$ diện tích hình chữ nhật đã cho là: $x \cdot \frac{x}{2}=\frac{x^{2}}{2} \quad\left(\mathrm{~m}^{2}\right)$

Nếu giảm mỗi chiều đi $2 \mathrm{~m}$ thì chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là:

$x-2$ va $\frac{x}{2}-2(\mathrm{~m})$

Khi đó, diện tích hình chữ nhật giảm đi một nửa nên ta có phương trình:

$(x-2)\left(\frac{x}{2}-2\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{2}-2 x-x+4=\frac{x^{2}}{4} \Leftrightarrow x^{2}-12 x+16=0$

$=>x_{1}=6+2 \sqrt{5}$ (thoả mãn $\mathrm{x}>4$ );

$x_{2}=6-2 \sqrt{5}$ (loại vì không thoả mãn $\mathrm{x}>4$ )

Vậy chiều dài của hình chữ nhật đã cho là $6+2 \sqrt{5}(\mathrm{~m})$.

Bài toán 6

Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), ĐK $x>\frac{12}{5}$

Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là $\mathrm{x}+2$ (giờ)

Mỗi giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (cv), người thứ hai làm được $\frac{1}{x+2}$ (cv)

Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong $\frac{12}{5}$ giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được:$1: \frac{12}{5}=$ $\frac{5}{12}(\mathrm{cv})$

Do đó ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{5}{12}$

$\Leftrightarrow \frac{x+2+x}{x(x+2)}=\frac{5}{12}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-14x-24=0$

${{\Delta }^{\prime }}=49+120=169,\sqrt{\Delta }=13$

$=>x=\frac{7-13}{5}=\frac{-6}{5}$(loại) và $x=\frac{7+13}{5}=\frac{20}{5}=4$(nhận)

Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ, người thứ hai làm xong công việc trong $4+2=6$ giờ.

Bài toán 7

Gọi thời gian một mình tổ 1sửa xong con đường là x (giờ) ( x ≥ 4 )

Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đường là x + 6 (giờ)

Trong 1 giờ tổ 1 sửa được $\frac{1}{x}$ ( con đường )

Trong 1 giờ tổ 2 sửa được $\frac{1}{x+6}$ (con đường)

Trong 1 giờ cả hai tổ sửa được $\frac{1}{4}$ (con đường)

Vậy ta có pt:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}=\frac{1}{4} \Leftrightarrow 4(x+6)+4 x=x(x+6) \Leftrightarrow x^{2}-2 x-24=0 \Leftrightarrow x_{1}=6 ; x_{2}=-4$

${{x}_{2}}=-4<4$, không thoả mãn điều kiện của ẩn

Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đường hết 6 ngày.

một mình tổ 2 sửa xong con đường hết 12 ngày.

Bài toán 8

Gọi thời gian đội 1 làm là x ngày $(\mathrm{x}>0)$ thì thời gian đội 2 làm việc là $\mathrm{x}+30$ ( ngày )

Mỗi ngày đội 1 làm được $\frac{1}{2 x}$ (đoạn đường)

Mỗi ngày đội 2 làm được $\frac{1}{2(x+30)}$ (đoạn đường)

Mỗi ngày cả hai đội làm được $\frac{1}{72}$ (đoạn đường )

Vây ta có phương trình: $\frac{1}{2x}+\frac{1}{2(x+30)}=\frac{1}{72}$

Hay $\quad x^{2}-42 x-1080=0$

$\Delta '={{21}^{2}}+1080=152=>\sqrt{\Delta '}=39$

$\mathrm{x}_{1}=21+39=60 ; \mathrm{x}_{2}=21-39=-18<0$ không thoả mãn điều kiện của ẩn.

Vậy đội 1 làm trong 60 ngày, đội 2 làm trong 60+30= 90 ngày.

Bài toán 9.

Gọi x là lượng đất đội dự định đào trong một ngày, (m3, $x>0$).

Lúc trước:

+ Lượng đất đào được: 5000 (m3).

+ Lượng đất đào /1 ngày: $x$ (m3/ngày).

+ Thời gian đào: $\frac{5000}{x}$ (ngày).

Lúc sau:

+ Lượng đất đào được: 15000 (m3).

+ Lượng đất đào /1 ngày: $x+100$ (m3/ngày).

+ Thời gian đào: $\frac{5000}{x+100}$ (ngày).

Theo đề bài ra, ta có phương trình: $\frac{5000}{x}+\frac{15000}{x+100}=35 \Leftrightarrow 5000(x+100)+15000 x=35 x(x+100)$ $\Leftrightarrow 7 x^{2}-3300 x-100000=0$

Giải phương trình bậc hai $7 x^{2}-3300 x-100000=0 \quad(*)$.

$\mathrm{Ta}$ có $\Delta=b^{2}-4 a c=(-3300)^{2}-4 \times 7 \times(-100000)=13690000$

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

 $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}=\frac{3300+\sqrt{13690000}}{2 \times 7}=500$(nhận)

$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}=\frac{3300-\sqrt{13690000}}{2 \times 7}=-\frac{200}{7}$ (loại)

Vậy mỗi ngày đội đào được $500 \mathrm{~m}^{3}$ đất.

Bài toán 10

 Gọi $x(x>0, x \in \mathbb{Z})$ là số sản phầm mà tổ A sản xuất được trong tháng ba.

Số sản phẩm tổ B sản xuất được trong tháng ba là $400 -x.$

Theo đề bài ta có:

$0,1x+0,15.(400-x)=448-400\Leftrightarrow \text{ }0,05x=12\Leftrightarrow \text{ }x=240$

Vậy số sản phẩm sản xuất trong tháng ba của tổ A là 240 và tổ B là 160.

Bài toán 11

Gọi số xe của mỗi đội lúc đầu là $x$. Điều kiện $x>0$
Số thóc lúc đầu mỗi xe phải chở là $: \frac{168}{x}$ ( tấn).

Số Xe của mỗi đội sau khi tăng thêm 6 xe là: $(\mathrm{x}+6),$ (chiếc).

Sau khi tăng số xe thêm 6, số thóc thêm 12 tấn thì số thóc mỗi xe cần phải chở là: $\frac{168+12}{x+6}=\frac{180}{x+6}$ (tấn).
Vì khi tăng thêm xe thì mỗi xe chở nhẹ hơn lúc đầu là 1 tấn nên ta có phương trình:

$\frac{168}{x}-\frac{180}{x+6}=1 \Leftrightarrow x^{2}+18x-1008 =0$

Giải phương trình ra được $x=24$ (nhận) và $x=42$ (loại)

Vậy lúc đầu mỗi đội có 24 xe.

Bài toán 12

Gọi $x$ là số học sinh nam của lớp $(x>0)$

Theo đề bài ta có phương trình:

$\frac{2}{7} x+\frac{1}{4}(40-x)=11 \Leftrightarrow x=28$ (thỏa)

Vậy số học sinh nam không bị cận thị là: $28 \cdot \frac{2}{7}=8$ (học sinh).

.Bài toán 13

Gọi x(kg) là khối lượng của cải Newzealand (x > 0)

Khối lượng của cải Hà Lan là $x + 30$ (kg)

Vì 70% là cải Hà Lan, nên ta có :

$70 \%(x + x + 30) = x + 30 ( x = 225$ (nhận)

Do đó số cải thu hoạch:                Newzealand      : $22,5$ (kg)

                                                              Hà Lan : $22,5 + 30 = 52,5$ (kg)

Số tiền bán được: $(22,5 . 20 000) + (52,5 . 30 000) = 2 025 000$ (đồng)

Bài toán 14

Gọi $x$ là số dãy ghế lúc đầu $\left(x \in 7^{+}, x>2\right)$.

Số dãy ghế lúc sau là $x-2$.

Số người ngồi trên mỗi dãy ghế lúc đầu là: $\frac{70}{x}$ (người)

Số người ngồi trên mỗi dãy ghế lúc sau là: $\frac{70}{x-2}$ (người)

Theo đề, số người trên mỗi dãy ghế lúc sau nhiều hơn lúc trước 4 người nên ta

có phương trình: $\frac{70}{x-2}-\frac{70}{x}=4 \Leftrightarrow 70 x-70 x+140=4 x(x-2)$

$\Leftrightarrow 4 x^{2}-8 x-140=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=7 \\ x=-5\end{array}\right.$ (loại nghiệm $x=-5$ vì không thoả điều kiện)

Vậy, lúc đầu phòng họp có 7 ghế dài.

Bài toán 15

Gọi $x$ (tấn) là số tấn hàng trong thực tế mà mỗi xe phải chở  (ĐK: $1<x\le 15,x\in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow x-1$ là số tấn hàng mỗi xe phải chở theo dự định.

Số xe thực tế phải điều động là: $\frac{180+28}{x}$ (xe)

Số xe cần điều động theo dự định là: $\frac{180}{x-1}$ (xe)

Vì vậy số xe thực tế nhiều hơn dự định là 1 xe nên ta có phương trình:

$\frac{208}{x}-\frac{180}{x-1}=1\Leftrightarrow 208x-208-180x={{x}^{2}}-x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-29x+208=0$

$\Rightarrow {{x}_{1}}=13$ (tm) hoặc ${{x}_{2}}=16$ (loại vì $x\le 15$)

Vậy theo dự định cần điều động: $\frac{180}{x-1}=\frac{180}{13-1}=15$ (xe).

Bài toán 16

Gọi $x(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$ là vận tốc của tàu đi về phía $\mathrm{Nam}, x>0 .$

Suy ra $x+6(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$ là vận tốc của tàu đi về phía Đông.

Sau 2 giờ, khoảng cách từ $A$ đến tàu đi về phía Nam là: $A N=2 x(\mathrm{~km})$ và khoảng cách từ $A$ đến tàu đi về phía Đông là: $A D=2(x+6)(\mathrm{km}) .$

Tam giác ADN vuông góc tại $A$ nên khoảng cách DN của hai tàu cho bởi:

$D N^{2}=A N^{2}+A D^{2}$ (Định lý Py-ta-go)

Hay ta có $60^{2}=(2 x)^{2}+[2(x+6)]^{2} \Leftrightarrow 3600=4 x^{2}+4\left(x^{2}+12 x+36\right) \Leftrightarrow 8 x^{2}+48 x-3456=0 .$

Ta được phưong trình bậc hai: $x^{2}+6 x-432=0$.

Giải phương trình ta được $x=18 ; x=-24$ (loại).

Vậy vận tốc tàu đi về phía Nam là $18 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Vận tốc tàu đi về phía Đông là $24 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.

Bài toán 17

Gọi $x$ là số học sinh của trường $(x \in N, x>60)$.

Khi đó, số học sinh giỏi ở học kì II là $x-60$. Số học sinh giỏi ở học kì I là $x-60+6-8 \% x=\frac{23}{25} x-54$.

Theo giả thiết, ta có phương trình:

$x-60=\frac{40}{37}\left( \frac{23}{25}x-54 \right)\Leftrightarrow \frac{1}{185}x=\frac{60}{37}\Leftrightarrow x=300\text{ (nhan) }$

Vậy số học sinh giỏi học kì II là: $300-60=240$ (học sinh).

Bài toán 18

Tổng thời gian từ lúc ném viên đá đến khi nghe âm thanh là 3s nghĩa là  ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=3$.

Ta có phương trình: $\sqrt{\frac{d}{4,9}}+\frac{d}{343}=3$. Đặt $\sqrt{d}=t\,\,(t>0)$

Phương trình trở thành $\frac{1}{343}{{t}^{2}}+0,4517t-3=0$

Giải phương trình trên ta được $t=6,37$ (nhận) và $t=-161,3$ (loại)

Nên  $\sqrt{d}=6,37\Rightarrow d=6,{{37}^{2}}=40,57\,m$

Vậy độ sâu của giếng là $40,57$ m.

II/ ĐÁP ÁN TOÁN THỰC TẾ VỀ HÀM SỐ BẬC HAI

Bài toán 19

a) Ta có:

$y=10t-5{{t}^{2}}$

 $y=5-5({{t}^{2}}-2t+1)$

 $y=5-5{{(t-1)}^{2}}$ 

Ta có:

$ -5{{(t-1)}^{2}}\le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall t\,\,\, $

$ \Rightarrow 5-5{{(t-1)}^{2}}\le 5\,\,\,\,\,\,\forall t\,\,\,\,\, $

Vậy chiều cao tối đa của quả bóng là 5m.

b) Quả bóng chạm đất khi y=0

$\Leftrightarrow 10t-5{{t}^{2}}=0$

$ \Leftrightarrow t(10-5t)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=0 \text{(loai)} \\ t=2 \text{(nhận)} \end{array} \right.$

Vậy quả bóng chạm đất sau 2 giây.

Bài toán 20

a) $F=k v^{2}$

$100=k \cdot 5^{2}$=> $k=4$

b) $v=90~\text{km}/\text{h}=25~\text{m}/\text{s}$

$\Rightarrow \text{F}={{4.25}^{2}}=2500(~\text{N})$

Thuyền không có thể ra khơi vì $2500>2116$

$2116=4 . \mathrm{v}^{2}$

$\mathrm{v}=23 \mathrm{~m} / \mathrm{s}=82,8(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$

Thuyền có thể ra khơi lúc vận tốc gió tối đa là: $82,8(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$.

Bài toán 21

Theo bài ra, đồ thị của hàm số bậc hai có phương trình cần tìm đi qua hai điểm $A(-60 ;-50)$ và $B(60 ;-50)$. Thay tọa độ của $A$ vào phương trình, ta được:

$50=a \times(-60)^{2} \Leftrightarrow a=\frac{-50}{3600}=\frac{-1}{72}$

Vậy phương trình vòm cần tìm là $y=\frac{-1}{72} x^{2}$.

Bài toán 22

a) Đỉnh cổng là đỉnh của parabol $y=a x^{2}(a<0),$ đỉnh cổng là $O(0 ; 0)$. Gọi hai chân cổng là A,B.

AB cắt Oy tại $H$.

Ta có: $A H=H B=\frac{A B}{2}, O A=O B=2 \sqrt{5}$(A, B, H$ nằm dưới trục hoành).

$\Delta H O A$ vuông tại H. Suy ra $O H^{2}+A H^{2}=O A^{2}$ (định lí Pythagore) $O H^{2}=(2 \sqrt{5})^{2}-2^{2}=16 \Rightarrow O H=4$.

Do đó $H(0 ;-4) .$ Nên $A(-2 ; 4), B(2 ;-4)$.

$A \in(P)$ nên $-4=a(-2)^{2} \Leftrightarrow a=-1 .$

b) Gọi giao điểm của đường thằng đi qua điểm cao nhất của xe tải, song song với trục hoành với $(P)$ là C, D. Đường thẳng  CD cắt Oy tại $M$.

Phương trình đường thẳng CD là $y=1,5$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và CD. $-x^{2}=1,5 \Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Do đó $C D=\sqrt{6}$. Mà $\sqrt{6}>2,4$.

Tại độ cao  2, 5 m thì chiều rộng của cổng là $\sqrt{ 6}$  lớn hơn  2, 4m   là chiều rộng của xe tải. Như vậy xe tải có thể qua cổng được.