BÀI 3: TOÁN THỰC TẾ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Trong bài học này chúng ta sẽ đi tìm hiểu về các bài toán thực tế trong chương 3 hệ phương trình dành cho học sinh lớp 9 đang ôn thi tuyển sinh vào lớp 10.

Bài giảng toán thực tế hệ phương trình ôn thi vào lớp 10.

>>Xem tiếp: Bài 4. TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HÀM SỐ BẬC HAI

>>Xem đầy đủ các bài học tại đây: TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10

>> Tham gia ngay group học tập trên facebook: Nhóm Hệ thống toán 9 – ôn thi vào 10

CHỦ ĐỀ 3: TOÁN THỰC TẾ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 

Dạng toán giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thường xuyên gặp trong những đề thi tuyển sinh lớp 10. Đây là dạng toán đòi hỏi nhiều kĩ năng và thực hành thường xuyên, trong đó quan trọng là hai kĩ năng:

  • Kĩ năng đầu tiên và cũng là khó nhất đối với học sinh đó là kĩ năng đọc đề, phân tích và lập được phương trình.
  • Kĩ năng thứ hai là khi lập được hệ phương trình ta áp dụng các phương pháp đã học để giải tìm nghiệm của bài toán.
    • PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Chúng ta thực hiện qua các bước cũng tương tự như giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
- Chọn hai ẩn số. Đặt điều kiện cho ẩn (Thường đề hỏi gì thì đặt cái đó làm ẩn)

- Biểu diễn các đại lượng theo ẩn số.
- Lập một hệ phương trình.
- Giải hệ bằng một trong hai cách: phương pháp thế, hoặc phương pháp cộng đại số và trả lời.

B. VÍ DỤ MINH HỌA

1. Dạng toán chuyển động

Phương pháp giải: Chú ý công thức: Quảng đường = vận tốc $\times$ thời gian.

=> vận tốc = quảng đường : thời gian và  thời gian = quảng đường : vận tốc

+ Chú ý: Đối với bài toán 2 xe A và B cùng chuyển động

+ Nếu đi cùng chiều sau một khoảng thời gian thì:

Khoảng cách 2 xe lúc sau= Quảng đường xe A – Quảng đường xe B

+ Nếu đi ngược chiều thì đến khi gặp nhau:

Khoảng cách 2 xe lúc ban đầu= Quảng đường xe A+ Quảng đường xe B.

Ví dụ 1. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong thời gian nhất định nếu xe chạy với vận tốc 25 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu.

Hướng dẫn giải

Gọi t là thời gian dự kiến của ô tô chạy từ A đến B.

Gọi s là độ dài quãng đường $\mathrm{AB}$. Điều kiện $t, s >0$
Thời gian ô tô đi từ $\mathrm{A}$ đến $\mathrm{B}$ với vận tốc $25 \mathrm{~km} / \mathrm{h}: t_{1}=t+2=\frac{s}{25}$
Thời gian ô tô đi từ $\mathrm{B}$ về $\mathrm{A}$ với vận tốc $50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}: t_{1}=t-1=\frac{s}{50}$

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}s=25(t+2) \\ s=50(t-1)\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}s=150(\mathrm{~km}) \\ t=4(h)\end{array}\right.\right.$ (nhận)
Vậy quãng đường AB dài 150km và thời gian dự kiến ban đầu của ô tô đi từ A đến B là 4 giờ.

Ví dụ 2. Một ô tô và một xe máy ở hai địa điểm A và B cách nhau 180km , khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau$2$ giờ. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 10(km/h). Tính vận tốc của mỗi xe.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của ô tô là $x\,\text{(km/h)}$, vận tốc của xe máy là $y\left( \text{km/h} \right)$. Đk: $x\text{ }>\text{ }y>\text{ }0,\text{ }x\text{ }>\text{ }10$.

Ta có phương trình : $x\text{ }-\text{ }y\text{ }=\text{ }10$ (1)

Sau 2 giờ ô tô đi được quãng đường là: $2x\text{ }\left( \text{km} \right)$; xe máy đi được quãng đường là: $2y\text{ }\left( \text{km} \right)$

Sau 2 giờ thì chúng gặp nhau, ta có phương trình: $2x\text{ }+\text{ }2y\text{ }=\text{ }180$  hay $x\text{ }+\text{ }y\text{ }=\text{ }90$            (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} x-y=10 \\x+y=90 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=50 \\ y=40 \end{array} \right.\text{(TM)}$

Vậy vận tốc của ô tô là $50$ km/h và vận tốc của xe máy là $40$ km/h.

2. Dạng toán công việc chung riêng

Phương pháp giải: Ta thường xem khối lượng công việc là một đơn vị.

Năng suất công việc =1: thời gian.

Năng suất $1+$ Năng suất $2=$ Tổng năng suất.

Ví dụ 3. Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong công việc. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được $75 \%$ công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi).

Hướng dẫn giải

Đổi: 4 giờ 30 phút $=\frac{9}{2}$ giờ

Gọi $x(h)$ là thời gian đề người thứ nhất làm một mình xong công việc $\left(DK: x>\frac{9}{2}\right)$
Gọi y(h) là thời gian đề người thứ hai làm một mình xong công việc (DK: $\left.y>\frac{9}{2}\right)$

Khi đó: Mỗi giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc)

Mỗi giờ người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc)

Mỗi giờ cả hai người làm được $\frac{2}{9}$ (công việc)

Trong 4 giờ người thứ nhất làm được $\frac{4}{x}$ (công việc)

Trong 3 giờ người thứ hai làm được $\frac{3}{y}$ (công việc)
Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{9}  \\  \frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}\end{array} \right.(*)$
Đặt $\frac{1}{x}=a$ và $\frac{1}{y}=b .$ Khi đó hệ phương trình $\text{(}*)$ trở thành $\left\{\begin{array}{l} a+b=\frac{2}{9} \\ 4 a+3 b=\frac{3}{4} \end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 9 a+9b=2 \\16 a+12 b=3\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=\frac{1}{12} \\ b=\frac{5}{36}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{12} \\\frac{1}{y}=\frac{5}{36}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=12 \\y=\frac{36}{5}(T M)\end{array}\right.\right.\right.\right.$

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 12 giờ

người thứ hai làm một mình xong công việc trong $\frac{36}{5}=7,2 h$.

Ví dụ 4.  Hai người dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong. Họ làm với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ hai vẫn tiếp tục làm. Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi, nên người thứ hai đã làm xong công việc còn lại trong 3giờ 20phút. Hỏi nếu mỗi người thợ làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì mất bao lâu mới xong công việc nói trên?

Hướng dẫn giải

Gọi x, y lần lượt là thời gian người thợ thứ nhất và người thợ thứ hai làm xong công việc với năng suất dự định ban đầu. Điều kiện $x>0,y>0.$

Một giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$(công việc), người thứ hai  làm được $\frac{1}{y}$ (công việc )

Một giờ cả hai người  làm được $\frac{1}{12}$ (công việc) nên ta có pt : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}$     (1)

Trong 8 giờ hai người làm được: $8.\frac{1}{12}=\frac{2}{3}$(công việc)

Công việc còn lại là:$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ (công việc)

Năng suất của người thứ hai khi làm một mình là: $2.\frac{1}{y}=\frac{2}{y}$  (Công việc)

Mà thời gian người thứ hai hoàn thành công việc còn lại là $\frac{10}{3}$(giờ) nên ta có pt:        $\frac{1}{3}:\frac{2}{y}=\frac{10}{3}$ hay  $\frac{y}{6}=\frac{10}{3}$

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ pt : $\left\{\begin{array}{l} \frac{ 1 }{ x } + \frac{1}{y}=\frac{1}{12 } \\ \frac { y } { 6 } = \frac{ 1 0 }{ 3 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=30 \\ y=20 \end{array}\right.\right.$

Vậy theo dự định người thứ nhất làm xong công việc hết 30 giờ và người thứ hai hết 20 giờ.

3. Dạng toán sử dụng kiến thức %

Phương pháp giải: Khi giải bài toán về tỉ lệ phần trăm cần lưu ý:

Nếu một đại lượng $a$ tăng thêm $m \%$ thì ta được một lượng mới là: $a+a . m \%$.

Nếu một đại lượng $a$ giảm đi $m \%$ thì ta được một lượng mới là: $a-a.m%$.

Ví dụ 5:  Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai tổ vượt mức $15 \%,$ tổ II sản xuất vượt mức $20 \%,$ do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.

Hướng dẫn giải

Gọi số chi tiết sản xuất được trong tháng đầu của Tổ I là x ( $x$ nguyên dương), $x<720 .$

Gọi số chi tiết sản xuất được trong tháng đầu của Tổ II là y ( y nguyên dương), $y<720 .$

Vì trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy do đó ta có phương trình (1) $x+y=800$
Vì trong tháng thứ hai Tổ I vượt mức $15 \%$, Tổ II sản xuất vượt mức $12 \%,$ cả hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy do đó ta có phương trình (2) là: $\mathrm{x}+\frac{15 x}{100}+\mathrm{y}+\frac{20 x}{100}=945 \Leftrightarrow \frac{115}{100} \mathrm{x}+\frac{112}{100} \mathrm{y}=945$

Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=800 \\ \frac{115}{100} x+\frac{112}{100} y=945\end{array} ;\right.$

Giải hệ phương trình ta được: $\left\{\begin{array}{l}x=300 \\ y=500\end{array}\right.$
Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 300 chi tiết máy, tổ II sản xuất được 500 chi tiết máy.

Ví dụ 6. Nhân dịp lễ Quốc tế phụ nữ 8/3, bạn Hoa định đi siêu thị mua tặng mẹ một cái máy sấy tóc và bàn ủi với tổng giá tiền là 700 000 đồng. Vì lễ nên siêu thị giảm giá, mỗi máy sấy tóc giảm 10%, mỗi bàn ủi giảm 20% nên Hoa chỉ trả là 585 000 đồng. Hỏi giá tiền ban đầu (khi chưa giảm) của mỗi máy sấy tóc, bàn ủi là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi x, y (đồng) là giá tiền ban đầy của máy sấy tóc, bàn ủi trước khi giảm giá $(x>0 ; y>0)$
Theo đề bài, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}x+y=700000 \\ (x-10 \% x)+(y-20 \% y)=585000\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x+y=700000 \\ 0,9 x+0,8 y=585000\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}-0,8 x-0,8 y=-560000 \\ 0,9 x+0,8 y=585000\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}0,1 x=25000 \\ 0,9 x+0,8 y=585000\end{array}\right.\right.\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x=250000 \\ 0,9.250000+0,8 y=585000\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x=250000 \\ 0,8 y=360000\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=250000 \\ y=450000\end{array}\right.\right.\right.$ (nhận)
Vậy giá tiền của máy sấy tóc là 250000 đồng, giá tiền của bàn ủi là 450000 đồng khi chưa giảm giá.

4. Dạng toán sử dụng kiến thức hình học

Phương pháp giải:

- Với hình chữ nhật:

Diện tích =Chiều dài $\times$ Chiều rộng; Chu vi = (Chiều dài+ Chiều rộng $) \times 2$.

Ví dụ 7. Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi bằng $198 \mathrm{~m}$, diện tích bằng $2430 \mathrm{~m}^{2}$. Tính chiều dài và chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật đó cho.

Hướng dẫn giải

Gọi $x(\mathrm{~m})$ là chiều dài và $\mathrm{y}(\mathrm{m})$ là chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật, với $(0 \leq y \leq x \leq 99)$.

Theo bài ra thửa đất có :
Chu vi :$2(x+y)=198 \quad(m)$
Diện tích :$xy=2430\left(m^{2}\right)$
Ta có hệ phưong trình : $\quad\left\{\begin{array}{c}2(x+y)=198 \\ x y=2430\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=99 \\ x y=2430\end{array}\right.\right.$
$\Rightarrow \mathrm{x}, \mathrm{y}$ là nghiệm phương trình $: X^{2}-99 X+2430=0$
Phương trình có $\Delta=99^{2}-4.2430=81 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=9$
$\Rightarrow X_{1}=\frac{99+9}{2}=\frac{108}{2}=54$ và $X_{2}=\frac{99-9}{2}=\frac{90}{2}=45 \Rightarrow \mathrm{x}=54$ và $\mathrm{y}=45$ ( thỏa )
Vậy chiều dài và chiều rộng thửa đất hình chữ nhật là : $x=54(\mathrm{~m})$ và $\mathrm{y}=45(\mathrm{~m})$.

Ví dụ 8. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi $80 \mathrm{~m}$. Nếu tăng chiều dài thêm $3 \mathrm{~m}$, và tăng chiều rộng thêm $5 \mathrm{~m}$ thì diện tích của mảnh đất tăng thêm $195 \mathrm{~m}^{2}$. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Hướng dẫn giải

Gọi $\mathrm{x}(\mathrm{m})$ là chiều dài và $\mathrm{y}(\mathrm{m})$ là chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật. Điều kiện $(x>0 ; y>0)$

Chu vi của mảnh đất là $80 \mathrm{~m}$ nên ta có phương trình: $2(x+y)=80$                                (1)

Diện tích ban đầu của mảnh đất là $x y\left(\mathrm{~m}^{2}\right)$.

Tăng chiều dài thêm $3 \mathrm{~m}:(x+3)$, và tăng chiều rộng thêm $5 \mathrm{~m}$ : $(y+5)$

Diện tích của mảnh đất lúc này là: $(x+3)(y+5)$ tăng thêm $195 \mathrm{~m}^{2}$ so với ban đầu, nên ta có phương trình: $(x+3)(y+5)=x y+195$                                                                                         (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l} 2(x+y)=80 \\ (x+3)(y+5)=x y+195\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y=40  \\ xy+5x+3y+15=xy+195  \end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y=40  \\ 5x+3y=180 \end{array} \right. \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=30 \\ y=10 \end{array} \right.$(thỏa mãn đk)

Vậy mảnh đất có chiều rộng là 10m và chiều dài là 30m.

5. Các dạng toán khác

Ví dụ 9. Trong một phòng họp có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 5 người thì có 9 người không có chỗ ngồi. Nếu xếp mỗi ghế 6 người thì thừa 1 ghế. Hỏi phòng họp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu người dự họp?

Hướng dẫn giải

Gọi$x$là số ghế và y là số người dự họp có mặt trong phòng. Điều kiện ($x>1 ; y>9)$

Xếp mỗi ghế 5 người thì có 9 người không có chỗ ngồi:

+ Số dãy ghế được sử dụng: $x$

+ Số người ngồi trong mỗi dãy: 5

+ Số người có chỗ ngồi: $5x$

+ Số người không có chỗ ngồi: 9

Do đó tổng số người có chỗ ngồi cộng với 9 người không có chỗ ngồi bằng tổng số người có mặt trong phòng họp, nên ta có phương trình: $5 x+9=y$ (1)

Xếp mỗi ghế 6 người thì thừa 1 ghế.

+ Số dãy ghế được sử dụng: $x-1$

+ Số người ngồi trong mỗi dãy: 6

+ Số người có chỗ ngồi: $6(x-1)$

+ Số người không có chỗ ngồi: 0

Do tất cả mọi người đều có chỗ ngồi, nên ta có phương trình: $6(x-1)=y$ (2)

Tử (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}5 x+9=y \\ 6(x-1)=y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5 x-y=-9 \\ 6 x-y=6\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=15 \\ y=84\end{array}\right.\right.\right.$ (thỏa mãn điều kiện).

KL : Vậy trong phòng có 15 dãy ghế và 84 người dự họp.

Ví dụ 10. Nhà bạn Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 4 cây thì số cây toàn vườn ít đi 48 cây. Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 3 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng được bao nhiêu cây rau cải bắp?

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là số luống cây và $y$ là số cây cải bắp trồng trên một luống $\left(x, y \in \mathbb{N}^{*}\right)$

Với giả thiết thứ nhất, ta có: $x y-(x+8)(y-4)=48 \Leftrightarrow 4 x-8 y=16$

Với giả thiết thứ hai, ta có: $(x-4)(y+3)-x y=32 \Leftrightarrow 3 x-4 y=44$

Từ đó, ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l} 4x-8y=16 \\ 3x-4y=44 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 4x-8y=16 \\ 6x-8y=88\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 2x=72 \\3x-4y=44 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=36 \\3.36-4 y=44 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=36 \\ y=44 \end{array}\right.$

Vậy số cây rau nhà bạn Lan trồng được là: $36.16=576$ (cây).

BÀI TẬP TOÁN THỰC TẾ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán 1

Hai tỉnh A và B cách nhau $110 \mathrm{~km}$. Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 2 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 44 phút. Tính vận tốc mỗi xe.

Bài toán 2

Đoạn đường AB dài 180 km. Cùng một lúc xe máy đi từ A và ô tô đi từ B xe máy gặp ô tô tại C cách A 80 km. Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách A là 60 km. Tính vận tốc của ô tô và xe máy?

Bài toán 3

Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định xong trong 12 ngày. Họ cùng làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều động đi làm công việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong công việc nói trên (với năng suất bình thường).

Bài toán 4 

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm được $25 \%$ khối lượng công việc. Hỏi mỗi người thợ làm một mình công việc đó trong bao lâu.

Bài toán 5

Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất được 720 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai tổ vượt mức $15 \%,$ tổ II sản xuất vượt mức $12 \%,$ do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 819 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.

Bài toán 6

Năm ngoái dân số của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm nay tăng $1,2 \%$ còn tỉnh B tăng $1,1 \%,$ tổng dân số của hai tỉnh năm nay là 4045000 người. Tính dân số của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay.

Bài toán 7

Một cửa hàng bán giày thể thao và tất. Tới cuối ngày, cửa hàng đó bán được 68 đôi cả giày thể thao và tất, thu về 3376 đô la. Biết mỗi đôi giày có giá 65 đô la và mỗi đôi tất có giá 7 đô la. Hỏi cửa hàng đó đã bán được bao nhiêu đôi giày thể thao và bao nhiêu đôi tất?

Bài toán 8

Bạn An phải làm bài thi môn toán với 80 câu hỏi và đạt được 224 điểm. Với mỗi câu trả lời đúng, bạn được 4 điểm và với mỗi câu trả lời sai bạn bị trừ 2 điểm. Hỏi bạn ấy đã trả lời sai bao nhiêu câu?

Bài toán 9

Hội trường có 280 chỗ ngồi. Ngày họp có tới 315 đại biểu tham dự. Vì lý do đó ban tổ chức phải kê thêm 1 dãy ghế và mỗi dãy thêm 1 người mới đủ chỗ. Hỏi hội trường lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế, mỗi dãy có bao nhiêu chỗ ngồi?

Bài toán 10

Hai bạn An và Bình cùng mang một số tiền như nhau đến nhà sách để mua tập. An định mua loại tập gia 2.500đ/1 quyển. còn Bình mua loại tập giá 3000đ/1 quyển . khi đến nhà sách hai bạn mới biết các loại tập đều được giảm giá 20%. Vì thế số tập của bạn An mua được nhiều hơn số tập của bạn Bình là 10 quyển. Biết số tiền mà các bạn mang theo là vừa đủ để mua tập. Hỏi số tập mỗi bạn mua được và số tiền hai bạn mang theo là bao nhiêu?

Bài toán 11

Anh Bình đến siêu thị để mua một cái bàn ủi và một cái quạt điện với tổng số tiền theo giá niêm yết là 850 ngàn đồng. Tuy nhiên, thực tế khi trả tiền, nhờ siêu thị khuyến mãi để tri ân khách hàng nên giá của bàn ủi và quạt điện đã lần lượt giảm bớt 10% và 20% so với giá niêm yết. Do đó, anh Bình đã trả ít hơn 125 ngàn đồng khi mua hai sản phẩm trên. Hỏi số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yết với giá bán thực tế của từng loại sản phẩm mà anh Bình đã mua là bao nhiêu?

Bài toán 12

Hai trường $\mathrm{A}$ và $\mathrm{B}$ của một thị trấn có 210 học sinh lớp 9 thi đỗ vào lớp 10, đạt tỷ lệ trúng tuyển $84 \% .$ Tính riêng thì trường $\mathrm{A}$ đỗ $80 \%,$ trường $\mathrm{B}$ đỗ $90 \% .$ Tính xem mỗi trường có bao nhiêu học $\sinh$ lớp 9 dự thi?

Bài toán 13

Một hình chữ nhật có chu vi là $70 \mathrm{~m}$, nếu giảm chiều rộng đi $3 \mathrm{~m}$ và tăng chiều dài $5 \mathrm{~m}$ thì diện tích như cũ . Hãy tìm chiều rộng và chiều dài ?

Bài toán 14

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi $250 \mathrm{~m}$. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi.
Bài toán 15

Một hình chữ nhật có chu vi  90 m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm chiều dài đi 15 m thì ta được hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính các cạnh của hình chữ nhật đã cho.

Bài toán 16

Nhằm động viên, khen thưởng các em đạt danh hiệu “học sinh giỏi cấp thành phố” năm học 2021 – 2022, trường THCS ABC tổ chức chuyến tham quan ngoại khóa tại một điểm du lịch với mức giá ban đầu là 375 000 đồng/người. Biết công ty du lịch giảm 10% chi phí cho mỗi giáo viên và giảm 30% chi phí cho mỗi học sinh. Số học sinh tham gia gấp 4 lần số giáo viên và tổng chi phí tham quan (sau khi giảm giá) là 12 487 500 đồng. Tính số giáo viên và số học sinh đã tham gia chuyến đi.

Bài toán 17

Bạn Nam đem theo 20 tờ tiền giấy gồm 2 loại 2.000 đồng và 5.000 đồng đến siêu thị mua một món quà có trị giá 78.000 đồng và được thối lại 1.000 đồng. Hỏi có bao nhiêu tờ tiền mỗi loại.

Bài toán 18

Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong thời gian quy định. Nếu giảm 3 người thì mất thêm 6 ngày để hoàn thành công việc, nếu tăng thêm 2 người thì sẽ hoàn thành sớm hơn 2 ngày. Hỏi theo quy định thì cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày? Biết khả năng lao động của mỗi công nhân là như nhau.

Bài toán 19

Một xe tải đi từ  A  đến  B  với vận tốc  40 km/h. Sau khi xe tải xuất phát một thời gian thì một xe khách cũng xuất phát từ  A  với vận tốc  50 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp xe tải tại  B . Nhưng sau khi đi được một nửa quãng đường  AB , xe khách tăng vận tốc lên  60 km/h nên đến  B  sớm hơn xe tải  16  phút. Tính quãng đường  AB .

Bài toán 20

Một mảnh vườn hình chữ nhật được chia thành nhiều luống để trồng cải, biết mỗi luống trồng số cây như nhau. Nếu tăng 8 luống và mỗi luống trồng ít hơn dự định 3 cây thì tổng số cây trồng được ít hơn dự định 54 cây. Nếu giảm 4 luống và mỗi luống trồng thêm 2 cây thì tổng số cây trồng nhiều hơn dự định là 32 cây. Hỏi số luống và số cây dự định trồng.

ĐÁP ÁN TOÁN THỰC TẾ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán 1

Đổi 44 phút = $\frac{44}{60}=\frac{11}{15}$ giờ

Gọi x, y là vận tốc của xe I và xe II $(x, y>0)$.
Sau 2 giờ hai xe gặp nhau nên tổng quãng đường hai xe đi đường bằng đoạn đường AB, do đó ta có $p t: 2 x+2 y=110$ (1).
Thời gian xe I đi hết đoạn đường $A B: \frac{110}{x}(h)$
Thời gian xe II đi hết đoạn đường $A B: \frac{110}{y}(h)$
Vì xe II đi hết quảng đường AB sớm hơn xe I là 44 phút:$\frac{110}{x}-\frac{110}{y}=\frac{11}{15}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ pt: $\left\{ \begin{array}{l} 2x+2y=110  \\ \frac{110}{x}-\frac{110}{y}=\frac{11}{15}  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=55-x\,(a) \\ \frac{110}{x}-\frac{110}{55-x}=\frac{11}{15}\,(b)  \\ \end{array} \right. \right.$
Giải $p t(b)$ ta được: $x_{1}=25($ nhận $) ; x_{2}=330$ (loại).
Thế $x=25$ vào $(a) \Rightarrow y=30$ (nhận )
Vậy Xe I có vận tốc: $25 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.
        Xe II có vận tốc: $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.

Bài toán 2

Gọi vận tốc của ô tô là $x\text{ }\left( \text{km/h} \right)$, đk: $x\text{ }>\text{ }0$, vận tốc của xe máy là $y\left( \text{km/h} \right)$, đk: $y\text{ }>\text{ }0$.

Thời gian xe máy đi để gặp ô tô là $\frac{80}{y}$(giờ)

Quãng đường ô tô đi là 180-80=100 km nên thời gian ô tô đi là $\frac{100}{y}$(giờ)

Ta có phương trình $\frac{100}{x}=\frac{80}{y}$                                                                                                                  (1)

Quãng đường xe máy đi là 60 km nên thời gian xe máy đi là $\frac{60}{y}$(giờ)

Quãng đường ô tô đi là 120 km nên thời gian ô tô đi là $\frac{120}{y}$(giờ)

Vì ô tô đi trước xe máy 54 phút = $\frac{9}{10}$nên ta có phương trình : $\frac{120}{x}-\frac{60}{y}=\frac{9}{10}$                            (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{100}{x}=\frac{80}{y} \\ \frac{120}{x}-\frac{60}{y}=\frac{9}{10} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{100}{x}-\frac{80}{y}=0 \\ \frac{40}{x}-\frac{20}{y}=\frac{3}{10} \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{100}{x}-\frac{80}{y}=0 \\ \frac{160}{x}-\frac{80}{y}=\frac{12}{10} \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{60}{x}=\frac{12}{10} \\ \frac{100}{x}-\frac{80}{y}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=50 \\ y=40 \\\end{array} \right. (TM)$
Vậy vận tốc của ô tô là $50\text{ km/h}.$Vận tốc của xe máy là $40\text{ km/h}.$

Bài toán 3

Gọi thời gian để đội I làm một mình xong công việc là $x,($ngày $), x>12$.

Gọi thời gian để đội II làm một mình xong công việc là y, (ngày), $\mathrm{y}>12$.

Trong 1 ngày đội I và đội II làm được khối lượng công việc tương ứng là: $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}$.

Vì hai đội dự định làm chung trong 12 ngày thì xong khối lượng công việc do đó ta có phương trình : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}  ( 1 )$

Phần công việc hai đội làm chung trong 8 ngày là $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ (KLCV).

Phần việc còn lại đội II phải làm là: $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ ( KLCV).

Vì năng suất tăng gấp đôi nên đội II đã làm xong $\frac{1}{3}$ phần việc còn lại trong 3,5 ngày=$\frac{7}{2}$ ngày do đó ta có phương trình: $\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{y}=\frac{1}{3} .$

Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12} \\ \frac{7}{y}=\frac{1}{3} .\end{array} ;\right.$

Giải hệ phương trình ta được: $\left\{\begin{array}{l}x=28 \\ y=21\end{array}\right.$
Vậy thời gian để đội I làm một mình xong công việc là: 28 ( ngày ).

Thời gian để đội II làm một mình xong công việc là: 21 ( ngày).

Bài toán 4

Gọi thời gian để Người thứ nhất làm một mình xong công việc là $x$ (giờ) $x>16$

.Gọi thời gian để Người thứ hai làm một mình xong công việc là $\mathrm{y},$ ( giờ), $\mathrm{y}>16$.

Trong 1 giờ Người thứ nhất và người thứ hai làm được khối lượng công việc tương ứng là: $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}$.
Vì hai người làm chung trong 16 giờ thì xong KLCV do đó ta có phương trình ( 1 ) $: \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}$
Sau 3 giờ Người thứ nhất làm được $3 . \frac{1}{x}$ (KLCV).

Sau 6 giờ Người thứ hai làm được $6 . \frac{1}{y}$ (KLCV).

Vì người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm được $25 \%$ khối lượng công việc do đó ta có phương trình: $\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}$.

Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16} \\ \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}\end{array} \quad\right.$,

Giải hệ phương trình ta đươc: $\left\{\begin{array}{l}x=24 \\ y=48\end{array}\right.$
Vậy thời gian để Người thứ nhất làm một mình xong công việc là: 24 ( giờ ).

Thời gian để Người thứ hai làm một mình xong công việc là: 48 ( giờ) .

Bài toán 5

Gọi số chi tiết sản xuất được trong tháng đầu của tổ I là $x$ ( $x$ nguyên dương $), x<720 .$

Gọi số chi tiết sản xuất được trong tháng đầu của tổ II là y ( y nguyên dương), $y<720$.

Vì trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy do đó ta có phương trình (1) $x+y=720$
Vì trong tháng thứ hai tổ I vượt mức $15 \%,$ tổ II sản xuất vượt mức $12 \%,$ cả hai tổ sản xuất được 720 chi tiết
máy do đó ta có phương trình (2) là: $x+\frac{15 x}{100}+y+\frac{12 x}{100}=819 \Leftrightarrow \frac{115}{100} x+\frac{112}{100} y=819$
Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=720 \\ \frac{115}{100} x+\frac{112}{100} y=819\end{array}\right.$
Giải hệ phương trình ta được: $\left\{\begin{array}{l}x=420 \\ y=300\end{array}\right.$

Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 420 chi tiết máy, tổ II sản xuất được 300 chi tiết máy.

Bài toán 6

Gọi dân số năm ngoái của tỉnh A là $x$ ( $x$ nguyên dương $), x<4$ triệu.

Gọi dân số năm ngoái của tỉnh B là $y$ ( $y$ nguyên dương), $\mathrm{y}<4$ triệu

Vì dân số năm ngoái của hai tỉnh năm ngoái là 4 triệu do đó ta có phương trình (1) $x+y=4$
$\frac{1,2 x}{100}+\frac{1,1 y}{100}=0,045$
Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ \frac{1,2 x}{100}+\frac{1,1 y}{100}=0,045\end{array} ;\right.$

Giải hệ phương trình ta được: $\left\{\begin{array}{l}x=1012000 \\ y=3033000\end{array}\right.$
Vậy dân số của tỉnh A năm nay là 1012000 người, tỉnh B là 3033000 người.

Bài toán 7

Gọi $a,b$ lần lượt là số đôi giày thể thao và tất cửa hàng đã bán. Điều kiện $a,b>0$
Cửa hàng đã bán 68 đôi cả giày thể thao và tất: $a+b=68$
Mỗi đôi giày giá 65 đô la, mỗi đôi tất giá 7 đô la, tổng thu về 3376 đô la: $65 a+7 b=3376$
Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}a+b=68 \\ 65 a+7 b=3376\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=50 \\ b=18\end{array}\right.\right.$
Vậy cửa hàng đó đã bán 50 đôi giày thể thao và 18 đôi tất.

Bài toán 8

Gọi $a,b$ lần lượt là số câu trả lời đúng và trả lời sai.
Đề thi có 80 câu: $a+b=80$
Tổng điểm theo giả thiết và theo quy chế đúng sai: $4 a-2 b=$ Diem $=224$
Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}a+b=80 \\ 4 a-2 b=224\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=64 \\ b=16\end{array}\right.\right.$
Vậy bạn An đã trả lời sai 16 câu.

Bài toán 9

Gọi $a$ là số dãy ghế ban đầu trong hội trường, $b$ là số chỗ ngồi trong 1 dãy ghế.
Hội trường có 280 chỗ ngồi: $a b=280$
Thêm 1 dãy, mỗi dãy thêm 1 ghế: $(a+1)(b+1)=315 \Rightarrow a+b=29$
Suy ra $\left\{\begin{array}{l}a b=280 \\ a+b=34\end{array} \Rightarrow(a ; b)=\{(20 ; 14) ;(14 ; 20)\}\right.$
Có 2 đáp số: hội trường có 20 dãy ghế, mỗi dãy 14 ghế; hội trường có 14 dãy ghế, mỗi dãy có 20 ghế.

Bài toán 10

Gọi $a,b$ lần lượt là số tập mỗi bạn An và Bình mua
Goi c là số tiền 2 bạn An và Bình mang theo. Điều kiện $a,b,c >0$
Các loại tập đều được giảm giá $20 \%$ nên ta có số tiền An và Bình dùng để mua tập lần lượt là $(1-20 \%) .2500 a$ và $(1-20 \%) .3000 b$
Do cả hai đều dùng vùra đủ số tiền mang theo nên: $c=80 \% .2500 a=80 \% .300 c b$
$\Rightarrow c=2000 a=2400 b$
Số tập An mua được nhiều hơn số tập Bình mua 10 quyển: $a-b=10$
Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}a-b=10 \\ c=2000 a=2400 b\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=60, b=50 \\ c=120000\end{array}\right.\right.$
Vậy số tiền 2 bạn mang theo là 120000 đồng, số tập An mua là 60 , số tập Bình mua là 50. 

Bài toán 11

Gọi số tiền mua 1 cái bàn ủi với giá niêm yết là x (ngàn đồng) $\left( 0<x<850 \right)$ .

Số tiền mua 1 cái quạt điện với giá niêm yết là y (ngàn đồng) $\left( 0<y<850 \right)$ .

Tổng số tiền mua bàn ủi và quạt điện là 850 ngàn đồng nên ta có: $x+y=850$ (1)

Số tiền thực tế để mua 1 cái bàn ủi là: $\frac{90}{100}x=\frac{9}{10}x$; 1 cái quạt điện là: $\frac{80}{100}y=\frac{8}{10}y$

Theo bài ra ta có phương trình: $\frac{9}{10}x+\frac{8}{10}y=850-125$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} x+y=850  \\   \frac{9}{10}x+\frac{8}{10}y=725  \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=450 \\ y=400 \\ \end{array} \right.$

Số tiền thực tế mua 1 cái bàn ủi là: $\frac{9}{10}.450=405$ (ngàn đồng);

Số tiền thực tế mua 1 cái quạt điện là: $\frac{8}{10}.400=320$. (ngàn đồng)

Vậy chênh lệch giữa giá bán niêm yết và giá  thực tế của cái bàn ủi là: $450-405=45$ (ngàn đồng)

Vậy chênh lệch giữa giá bán niêm yết và giá thực tế của cái quạt là: $400-320=80$ (ngàn đồng)

Bài toán 12

Gọi số học sinh trường $\mathrm{A}$ là $\mathrm{x}$ học sinh. Đk $\mathrm{x}$ thuộc $\mathrm{N}^{*}<210$

Gọi số học sinh trường B là $y$ học sinh. Đk $\mathrm{x}$ thuộc $\mathrm{N}^{*}<210$.

Tổng số học sinh của cả hai trường là : $\frac{210}{\text { Tshs }}=\frac{84}{100} \Rightarrow T S H S=210.100: 84=250$

Vậy ta có PT: $\text{x}+\text{y}=250$ (1)

Trường A đỗ $80 \%$ trường $B$ đỗ $90 \%$, Ta có PT $80 \% \cdot x+90 \% . Y=210$(2)
Từ (1)(2) Ta có HPT:

$\left\{ \begin{array}{l} x+y=250  \\ 0,8x+0,9y=210 \end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=150 \\ y=100 \\ \end{array} \right. \right.$

Vậy trường A có 150 học sinh dự thi, trường B có 100 học sinh dự thi.

Bài toán 13

Gọi chiều rộng là $x$ (m) chiều dài là $y$. Điều kiện $\mathrm{x}, \mathrm{y}>0$
Nửa chu vi là $70/2=35~\Rightarrow \text{x}+\text{y}=35$(1)
Khi chiều rộng giảm 3m và chiều dài tăng 5m thì diện tích như cũ nên ta có: $(x-3)(y+5)=x y$ (2)

Từ (1)(2) Ta có hpt: $\left\{\begin{array}{c}x+y=35 \\ (x-3)(y+5)=x y\end{array}\right.$
Giải ra ta có $x=15 y=20$.

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 15 m, chiều dài là 20 m.

Bài toán 14

Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật lần lượt là $x$ và $y,(m),(0<x<y<125)$
Vì chu vi thửa ruộng hình chữ nhật là $250 \mathrm{~m}$ do đó ta có phương trình: $\mathrm{x}+\mathrm{y}=125 .$

Vì chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi do đó ta có phương trình:
$2x+\frac{y}{3}=125 .$

Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=125 \\ 2 x+\frac{y}{3}=125\end{array}\right.$,

giải hệ phương trình ta được $\left\{\begin{array}{l}x=50 \\ y=75\end{array}\right.$
Vậy diện tích của thửa ruộng $\mathrm{HCN}$ là; $50.75=3750 \mathrm{~m}^{2}$.

Bài toán 15

Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và chiều dài của mảnh đất. Điều kiện $x,y>0$.

Hình chữ nhật có chu vi $90 \mathrm{~m}$ nên có phương trình:

$2 x+2 y=90 \Leftrightarrow x+y=45$ (1)

Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm chiều dài đi $15 \mathrm{~m}$ thì ta được hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích ban đầu. Diện tích hình chữ nhật lúc sau là: $2 x(2 y-15)$

Theo giả thiết thì: $2 x(y-15)=x y \quad$ (2)

Từ (1) và (2) thì ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}x+y=45 \\ 2 x(y-15)=x y\end{array}\right.$

Giải và đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ phương trình là: $x=15;y=30$

Vậy hình chữ nhật có chiều rộng là $15 \mathrm{~m}$ và chiều dài hình chữ nhật là $30 \mathrm{~m}$. Chiều dài của khu vườn là $80 \mathrm{~m}$, chiều rộng khu vườn là $60 \mathrm{~m}$.

Bài toán 16

Gọi x, y là số giáo viên và số học sinh tham gia chuyến đi$(x,y\in \mathbb{N})$. Theo giả thiết, ta có hệ pt:

$\left\{\begin{array}{l}y=4 x \\ {[(1-10 \%) x+(1-30 \%) y] .375000=12487500}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=4 x \\ 90 \% x+70 \% . y=33,3\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} y=4x \\90%x+70%.4x=33,3 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=4x \\ 3,7x=33,3 \\ \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=36 \\ x=9 \\ \end{array} \right.$

Vậy chuyến tham quan có 9 giáo viên, 36 học sinh tham gia.

Bài toán 17

Bạn Nam mua quà 78000 và được thối lại 1000 tức là bạn mang theo 79000 đồng.

Gọi a,b lần lượt là số tờ tiền loại 2000 và 5000 đồng.

Tổng giá trị tiền bạn $\mathrm{Nam}$ mang theo là 79000 :

$2000 a+5000 b=79000 \Rightarrow 2 a+5 b=79$.

Số tờ tiền bạn Nam mang theo là $20: a+b=20$

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}a+b=20 \\ 2 a+5 b=79\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=7 \\ b=13\end{array}\right.\right.$.

Vậy Nam có 7 tờ 2000, 13 tờ 5000.

Bài toán 18

Gọi $x$ là số thợ cần thiết và y là số ngày để hoàn thành công việc theo quy định.

Điều kiện $(x>3 ; y>2)$

Bảng phân tích số liệu:

Do khả năng lao động của mỗi người thợ đều như nhau nên: tổng số công lao động (năng suất lao động một ngày của 1 người thợ) để hoàn thành công việc là bằng nhau trong các trường hợp.

+ Tổng số công lao động ban đầu với $x$người thợ và$y$ngày làm: $xy$

+ Tổng số công lao động khi giảm 3 thợ và số ngày lao động tăng 6 ngày là:$(x-3)(y+6)$

nên ta có phương trình: $(x-3)(y+6)=x y$                                                                                                  (1)

+ Tổng số công lao động khi tăng 2 thợ và số ngày lao động giảm 2 ngày là:$(x+2)(y-2)$

nên ta có phương trình: $(x+2)(y-2)=x y$                                                                                                  (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}(x-3)(y+6)=x y \\ (x+2)(y-2)=x y\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x y+6 x-3 y-18=x y \\ x y-2 x+2 y-4=x y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}6 x-3 y=18 \\ -2 x+2 y=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=8 \\ y=10\end{array}\right.\right.\right.$ (thỏa mãn điều kiện)

KL: Theo quy định cần 8 người thợ làm trong 10 ngày để làm xong công việc.

Bài toán 19

Gọi quãng đường AB dài là $x(\mathrm{~km})$, thời gian từ lúc xe tải xuất phát đến lúc xe khách xuất phát là $y$ (giờ) (Điều kiện $x, y>0$ ).

Đổi 16 phút $=\frac{4}{15}$ giờ.

Thời gian xe tải đi từ $A$ đến $B$ là $\frac{x}{40}$ (h),

Thời gian xe khách đi từ $A$ đến $B$ với vận tốc 50$\mathrm{km} / \mathrm{h}$ là $\frac{x}{50}(\mathrm{~h}),$ ta có phưong trình:

$\frac{x}{40}=y+\frac{x}{50}$ (1)

Thời gian thực tế xe khách đi $\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{5}+\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{60}$ (h), ta có phương trình:

$\frac{x}{40}=\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{50}+\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{60}+\frac{4}{15}+y \Leftrightarrow \frac{x}{40}=y+\frac{11 x}{600}+\frac{4}{15}$

Từ $(1),$ (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{40}=y+\frac{x}{50}\\\frac{x}{40}=y+\frac{11x}{600}+\frac{4}{15}\\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{600}=\frac{4}{15}  \\\frac{x}{40}=y+\frac{x}{50}\\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=160\\y=0,8\\\end{array} \right. \right.\right.\text{ (nhận)}$

Vậy quãng đường AB dài $160 \mathrm{~km}$.

Bài toán 20

Gọi a là số luống ban đầu, b là số cây trồng trên 1 luống ban đầu.

T.h.1: tăng 8 luống và mỗi luống trồng ít hơn dự định 3 cây thì tổng số cây trồng được ít hơn dự định 54 cây: $(a+8)(b-3)=a b-54 \Leftrightarrow-3 a+8 b=-30$

T.h.2: giảm 4 luống và mỗi luống trồng thêm 2 cây thì tổng số cây trồng nhiều hơn dự định là 32 cây: $(a-4)(b+2)=a b+32 \Leftrightarrow 2 a-4 b=40$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}-3a+8b=-30\\2a-4b=40\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=50\\b=15\end{array}\right.\right.$

  Vậy theo dự định có 50 luống, trồng 15 cây mỗi luống và tổng cộng 750 cây.