TOÁN THỰC TẾ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Trong bài học hôm nay, chúng ta sẽ tìm hiểu về các bài toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông , đây là một nội dung quan trọng, thường xuất hiện trong các đề kiểm tra môn toán lớp 9 và ôn thi tuyển sinh vào lớp 10.

Bài giảng toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông

>>Xem tiếp: Bài 2. TOÁN THỰC TẾ VỀ ĐƯỜNG TRÒN

>>Xem đầy đủ các bài học tại đây: TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10

>> Tham gia ngay group học tập trên facebook: Nhóm Hệ thống toán 9 – ôn thi vào 10

CHỦ ĐỀ 1: TOÁN THỰC TẾ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1) $b^{2}=a b^{\prime} ; c^{2}=a c^{\prime}$
2) $h^{2}=b^{\prime} c^{\prime}$
3) $h a=b c$
4)$\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$

https://toanthucte.com/wp-content/uploads/2020/04/a1-300x208.jpg

2.TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1) $sin \alpha$=( cạnh đối/cạnh huyền )
2) $cos \alpha$=( cạnh kề/cạnh huyền )
3) $tan \alpha$=( cạnh đối/cạnh kề)
4) $cot \alpha$=(cạnh kề/cạnh đối)

https://toanthucte.com/wp-content/uploads/2020/04/a2-300x185.jpg

Cách ghi nhớ:

Để ý các chữ cái đầu: Sin=Đối/Huyền, Cos=Kề/Huyền, Tan= Đối/ Kề, Cot= Kề/ Đối nên cách ghi nhớ là:

"Sao Đi Học, CKhóc Hoài, Thôi Đừng Khóc, Có Kẹo Đây."

Như vậy, trong một tam giác vuông:

  • Cạnh góc vuông = Cạnh huyền $\times$ sin góc đối = Cạnh huyền $\times$ cos góc kề
  • Cạnh góc vuông = Cạnh góc vuông kia $\times$ tan góc đối = Cạnh góc vuông kia $\times$ cotan góc kề.
  • Lưu ý: Đối với các bài toán không phải tam giác vuông thì chúng ta phải kẻ thêm đường vuông góc để tạo ra tam giác vuông.

B. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 (toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vuông đề đo chiều cao của một cây dừa, với các kích thước đo được như hình bên. Khoảng cách từ vị trí gốc cây đến vị trí chân của người thợ là 4,8m và từ vị trí chân đứng thẳng trên mặt đất đến mắt của người ngắm là l,6m. Hỏi với các kích thước trên thì người thợ đo được chiều cao của cây đó là bao nhiêu? (làm tròn đến mét).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa bài toán:

toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông

Xét tứ giác ABDH có:

$\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{H}={{90}^{{}^\circ }}\text{ }$(gt)

$\Rightarrow$ Tứ giác ABDH là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow \mathrm{BA}=\mathrm{DH}=1,6 \mathrm{~m} ; \mathrm{BD}=\mathrm{AH}=4,8 \mathrm{~m}$

Xét $\triangle A D C$ vuông tại $D$ và DB là đường cao, ta có:

$\mathrm{DB}^{2}=\mathrm{BA.BC}$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow B C=\frac{D B^{2}}{B A}=\frac{4,8^{2}}{1,6}=14,4 m$

$\Rightarrow A C=A B+B C=1,6+14,4=16 m$

Vậy chiều cao của cây dừa là $16 \mathrm{~m}$.

Ví dụ 2 (toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B nằm bên kia bờ sông, ông Việt vạch từ A đường vuông góc với AB. Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thẳng $A C=30 m$, rồi vạch CD vuông góc với phương BC cắt AB tại $D$ (xem hình vẽ). Đo được $\mathrm{AD}=20 \mathrm{~m}$, từ đó ông Việt tính được khoảng cách từ $\mathrm{A}$ đến $\mathrm{B}$. Em hãy tính độ dài AB và số đo góc ACB.

toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hướng dẫn giải:

  • Xét $\Delta B C D$ vuông tại C và CA là đường cao, ta có:

$\mathrm{AB} cdot \mathrm{AD}=\mathrm{AC}^{2}$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow A B=\frac{A C^{2}}{A D}=\frac{30^{2}}{20}=45 m$

  • Xét $\Delta A B C$ vuông tại $A$, ta có:

$\tan A C B=\frac{A B}{A C}=\frac{45}{30}=1,5$ (TSLG của góc nhọn)

$\Rightarrow \overset \frown{ABC}\approx {{56}^{{}^\circ }}{{18}^{\prime }}$

Vậy tính độ dài $\mathrm{AB}=45 \mathrm{~m}$ và số đo góc $\mathrm{ACB}$ là $56^{\circ} 18^{\prime}$

Ví dụ 3 (toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Môt cây cau có chiều cao $6 \mathrm{~m}$. Để hái môt buồn cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với măt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài $8 \mathrm{~m}$ (làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa bài toán

Xét $\Delta ABC$vuông tại A, ta có:

$\sin B=\frac{A C}{B C}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow \widehat{B} \approx 48^{0} 35^{\prime}$

Vây góc giữa thang tre với mặt đất là$48^{0} 35^{\prime}$

Ví dụ 4 (toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông) 

Một máy bay đang bay ở độ cao $12 \mathrm{~km}$. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất.

a) Nếu cách sân bay $320 \mathrm{~km}$ (tính từ máy bay đến sân bay) máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu (làm tròn đến phút)?

b) Nếu phi công muốn tạo góc nghiêng $5^{0}$ thì cách sân bay(tính từ máy bay đến sân bay) bao nhiêu kilômét phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?

Hướng dẫn giải:

a) Hình vẽ minh họa bài toán: (hình bên)

toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông

Xét $\Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A},$ ta có:

$\sin B=\frac{A C}{B C}=\frac{12}{320}=\frac{3}{80}$

$\Rightarrow \hat{B} \approx {{2}^{0}}{{9}^{\prime }}$

- Vậy góc nghiêng là $2^{0} 9^{\prime}$

b)

- Hình vẽ minh họa bài toán: (hình bên)

toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông

Xét $\Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại A, ta có:

$\sin B=\frac{A C}{B C}$ (TSLG của góc nhọn)

$\Rightarrow B C=\frac{A C}{sin B}=\frac{12}{sin 5^{0}} \approx 137,7 k m$

- Vậy phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh khi cách sân bay $137,7 \mathrm{~km}$

 .

Ví dụ 5 (toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông) 

Hải đăng kê Gà thuộc xã Tân Thành, huyện Hàm Thuận Nam, Bình Thuận là ngọn hải đăng được trung tâm sách kỷ lục Việt Nam xác nhận là ngọn hải đăng cao nhất và nhiều tuổi nhất. Hải đăng Kê Gà được xây dựng từ năm 1897 - 1899 và toàn bộ bằng đá. Tháp đèn có hình bát giác, cao $66 \mathrm{~m}$ so với mực nước biển. Ngọn đèn đặt trong tháp có thể phát sáng xa $40 \mathrm{~km}$. Môt người trên biển muốn quan sát ngọn hải đăng có độ cao $66 \mathrm{~m}$, người đó đứng trên mũi thuyên và dùng giác kế đo được góc giữa thuyền và tia nắng chiều từ đỉnh ngọn hải đăng đến thuyền là $25^{\circ}$. Tính khoảng cách của thuyền đến ngọn hải đăng (làm tròn đến m).

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa bài toán: (hình bên)

toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông

Xét $\triangle A B C$ vuông tại $A$, ta có:

$tan C=\frac{A B}{A C}$

$\Rightarrow A C=\frac{A B}{tan C}=\frac{66}{tan 25^{\circ}} \approx 142 \dot{m}$

Vậy khoảng cách của thuyền đến ngọn hải đăng là $142 \mathrm{~m}$.

Ví dụ 6 (toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông) 

Một người quan sát đứng cách một cái tháp 10m, nhìn thẳng đỉnh tháp và chân tháp lần lượt dưới 1 góc 550 và 100 so với phương ngang của mặt đất. Hãy tính chiều cao của tháp.

toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hướng dẫn giải:

- Dựa vào hình vẽ minh họa, ta có: $\mathrm{AH}=\mathrm{BD}=10 \mathrm{~m}$

- Xét $\Delta \mathrm{AHB}$ vuông tại $\mathrm{H}$, ta có:

$\operatorname{tanBAH}=\frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AH}}$

$\Rightarrow \mathrm{BH}=\mathrm{AH.tanBAH}=10 \cdot tan 10^{\circ}(\mathrm{m})$

- Xét $\Delta \mathrm{AHC}$ vuông tại $\mathrm{H}$, ta có:

$\operatorname{tanCAH}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}$

$\Rightarrow \mathrm{CH}=\mathrm{AH} \cdot tan \mathrm{CAH}=10 . tan 55^{\circ}(\mathrm{m})$

- Ta có: $\mathrm{BC}=\mathrm{BH}+\mathrm{CH}=10 . tan 10^{\circ}+10 . tan 55^{0} \approx 16 \mathrm{~m}$

Vậy chiều cao của tháp là $16 \mathrm{~m}$.

Ví dụ 7 (toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tòa nhà Bitexco Financial, Bitexco Financial Tower hay Tháp Tài chính Bitexco là một tòa nhà chọc trời được xây dựng tại trung tâm Quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh. Tòa nhà có 68 tầng (không tính 3 tầng hầm). Biết rằng, khi tòa nhà có bóng in trên mặt đất dài 47,3 mét, thì cùng thời điểm đó có một cột tiêu (được cắm thẳng đứng trên mặt đất) cao 15 mét có bóng in trên mặt đất dài 2,64 mét.

https://toanthucte.com/wp-content/uploads/2021/02/word-image.jpeg

a) Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất (đơn vị đo góc được làm tròn đến độ)

b) Tính chiều cao của tòa nhà (làm tròn đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải:

 Hình vẽ minh họa bài toán:

toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông

a) Vì các góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{B}}^{\prime}$

$\Rightarrow tan B=tan B^{\prime}=\frac{A^{\prime} C^{\prime}}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{15}{2,64}$

$\Rightarrow \hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{B}}^{\prime} \approx 80^{\circ}$

Vậy góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là $80^{\circ}$

b) $\cdot$ Ta có: $tan \mathrm{B}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}$

$\Rightarrow \mathrm{AC}=\mathrm{AB} \cdot tan \mathrm{B}=47,3 \cdot \frac{15}{2,64} \approx 268,8 \mathrm{~m}$

Vậy chiều cao của tòa nhà là 268,8m.

Ví dụ 8 (toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Một cần cẩu có góc nghiêng so với mặt đất nằm ngang là 400. Vậy muốn nâng một vật nặng lên cao 8,1 mét thì cần cẩu phải dài bao nhiêu? Biết chiều cao của xe là 2,6 mét, chiều cao của vật nặng là 1 mét (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân).

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa bài toán:

toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông

- Ta có: $\mathrm{AK}=\mathrm{CH}$

$\Rightarrow \mathrm{AD}+\mathrm{DK}=\mathrm{CH}$

$\Rightarrow \mathrm{AD}=\mathrm{CH}-\mathrm{DK}=2,6-1=1,6 \mathrm{~m}$

- Mà: $A B+A D=B D$

$\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{BD}-\mathrm{AD}=8,1-1,6=6,5 \mathrm{~m}$

Xét $\Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A},$ ta có:

$sin \mathrm{C}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$ (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

$\Rightarrow \mathrm{BC}=\frac{\mathrm{AB}}{sin \mathrm{C}}=\frac{6,5}{sin 40^{\circ}} \approx 10,1 \mathrm{~m}$

- Vậy cần cầu phải dài $10,1 \mathrm{~m}$.

Ví dụ 9 (toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông) 

Tính chiều cao của trụ cầu Cần thơ so với mặt sông Hậu cho biết tại hai điểm cách nhau $89 \mathrm{~m}$ trên mặt sông người ta nhìn thấy đỉnh trụ cầu với góc nâng lần lượt là $40^{\circ}$ và $30^{\circ} .$

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa bài toán:

toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông

- Xét $\Delta \mathrm{ABD}$ vuông tại $\mathrm{A},$ ta có:

$tan \text{ADB}=\frac{\text{AB}}{\text{AD}}\text{ }\Rightarrow \text{AD}=\frac{\text{AB}}{tan \text{ADB}}=\frac{\text{AB}}{tan {{40}^{{}^\circ }}}(1)$

- Xét $\Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại A, ta có:

$\tan A C B=\frac{A B}{A C}$

$\Rightarrow \text{AC}=\frac{\text{AB}}{\tan \text{ACB}}=\frac{\text{AB}}{\tan {{30}^{{}^\circ }}}$

$\cdot$ Ta có: $A D+D C=A C$ (vì D thuộc $A C)$

$\Leftrightarrow \frac{\mathrm{AB}}{tan 40^{\circ}}+89=\frac{\mathrm{AB}}{tan 30^{\circ}}$

$\Leftrightarrow \frac{\mathrm{AB}}{\tan 30^{\circ}}-\frac{\mathrm{AB}}{\tan 40^{\circ}}=89$

$\Leftrightarrow \operatorname{AB} \cdot \left(\frac{1}{tan 30^{\circ}}-\frac{1}{tan 40^{\circ}}\right)=89$

$\Leftrightarrow \mathrm{AB}=\frac{89}{\frac{1}{tan 30^{\circ}}-\frac{1}{\tan 40^{\circ}}}$

$\Leftrightarrow \mathrm{AB} \approx 164,7 \mathrm{~m}$.

Vậy chiều cao của trụ cầu Cần thơ so với mặt sông Hậu là 164,7m.

Ví dụ 10 (toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông) 

Hai người A và B đứng cùng bờ sông nhìn ra một cồn nổi giữa sông. Người A nhìn ra cồn với 1 góc $43^{\circ}$ so với bờ sông, người B nhìn ra cồn với 1 góc $28^{\circ}$ so với bờ sông, 2 người đứng cách nhau 250km. Hỏi cồn cách bờ sông hai người đang đứng là bao nhiêu m?

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa bài toán:

- Xét $\Delta$ AHC vuông tại A, ta có:

$\operatorname{tanC} \hat{\mathrm{A}} \mathrm{H}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}$ (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

$\Rightarrow \mathrm{AH}=\frac{\mathrm{CH}}{\operatorname{tanC} \hat{\mathrm{A}} \mathrm{H}}=\frac{\mathrm{CH}}{tan 43^{\circ}}(\mathrm{m})(1)$

- Xét $\Delta \mathrm{BHC}$ vuông tại $\mathrm{A},$ ta có:

$tan \mathrm{C} \hat{\mathrm{B}} \mathrm{H}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{BH}}$ $\Rightarrow \mathrm{BH}=\frac{\mathrm{CH}}{\operatorname{tanC} \hat{\mathrm{B}} \mathrm{H}}=\frac{\mathrm{CH}}{\tan 28^{0}}(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ và

$\Rightarrow \mathrm{AH}+\mathrm{BH}=\frac{\mathrm{CH}}{\tan 43^{0}}+\frac{\mathrm{CH}}{tan 28^{0}} \Leftrightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{CH} \cdot \left(\frac{1}{tan 43^{\circ}}+\frac{1}{tan 28^{\circ}}\right) \Leftrightarrow 250=\mathrm{CH} \cdot\left(\frac{1}{tan 43^{\circ}}+\frac{1}{tan 28^{\circ}}\right)$

$\Leftrightarrow \mathrm{CH}=\frac{250}{\frac{1}{\tan 43^{\circ}}+\frac{1}{tan 28^{\circ}}} \approx 84,66 \mathrm{~m}$

- Vậy cồn cách bờ sông hai người đang đứng là $84,66 \mathrm{~m}$.

Ví dụ 11 (toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông) 

Cầu dây văng dạng rẻ quạt như hình vẽ bên dưới. Khoảng cách từ dây văng ngoài cùng đến trụ tháp lần lượt là 100m và 169m. Tính chiều cao của trụ tháp tính từ mặt nước biết cầu cách mặt nước 35m và hai dây văng ngoài cùng của một trụ tháp tạo thành một góc vuông.

Hướng dẫn giải:

Vẽ thêm các yếu tố phụ.

toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trong $\Delta mathrm{ABC}$ vuông ở A có:

$\mathrm{BC}=\mathrm{BH}+\mathrm{HC}=100+169=269 \mathrm{~m}$

$\mathrm{AH}^{2}=\mathrm{BH} \cdot \mathrm{CH}=100.169$

$\Rightarrow \mathrm{AH}=130 \mathrm{~m}$

Do đó chiều cao của trụ tháp tính từ mặt nước là $130+35=165 \mathrm{~m}$.

BÀI TẬP TOÁN THỰC TẾ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Bài toán 1. Bóng của một cột đèn trên mặt đất dài 2,9m và khi đó tia sáng mặt trời tạo với mặt đất nằm ngang một góc ${{60}^{\circ }}$. Tính chiều cao của cột đèn.

Bài toán 2. Trường bạn An có một chiếc thang dài 6 mét. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc "an toàn" là $65^{\circ}$ (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng)

Bài toán 3. Thang xếp chữ A gồm 2 thang đơn tựa vào nhau. Để an toàn, mỗi thang đơn tạo với mặt đất một góc khoảng $75^{o}$. Nếu muốn tạo một thang xếp chữ $A$ cao $2 \mathrm{~m}$ tính từ mặt đất thì mỗi thang đơn phải dài bao nhiêu?

Bài toán 4. Anh An đặt cầu thang tiếp xúc với tường và thang tạo với tường 1 góc MÂN = ${{30}^{\circ }}$.Chân cái thang thì cách chân tường 1 khoảng là 1,5m. Tính chiều dài của thang.

Bài toán 5. Môt khối u của một bệnh nhân cách mặt da $5,7 \mathrm{~cm}$ được chiếu bởi một tia gamma. Để tránh làm tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn tia cách khối u (trên mặt da) 8,3cm (xem hình vẽ). Tính góc tao bởi chùm tia với mặt da và chùm tia phải đi một đoạn dài bao nhiêu để đến được khối u?

Bài toán 6. Cho chiều cao của cột đèn bằng đoạn thẳng CD, chiều cao của bạn An bằng đoạn thẳng AB = 1,6m. Bạn An đứng cách cột đèn 6m, cột đèn tạo với đoạn nối điểm cao nhất của cột đèn và điểm cao nhất của bạn An một góc là $\widehat{BDC}={{60}^{\circ }}$. Tính chiều cao của cột đèn (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Bài toán 7. Một người cầm ê ke để đo chiều cao của cây theo hình vẽ và các số liệu đi kèm. Biết khoảng cách từ chân người đứng đến gốc cây là 1,2m và chiều cao từ mặt người đó đến mặt đất là 1,5m. Tính chiều cao của cây ( đơn vị mét) Và làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.

Bài toán 8. Giữa hai tòa nhà (kho và phân xưởng) của một nhà máy người ta xây dựng một băng chuyền AB để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai tòa nhà là 10m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở độ cao 8m và 4m so với mặt đất. Tìm độ dài AB của băng chuyền.

Bài toán 9. Một người có mắt cách mặt đất 1,5m, người đó đứng cách tòa nhà 20m nhìn thấy điểm A trên nóc tòa nhà. Hỏi khoảng cách từ mắt người đó đến điểm A là bao nhiêu m? Biết tòa nhà đó cao 16,5m.

Bài toán 10. Cho chiều cao của cột đèn bằng đoạn thẳng CD; Chiều cao của bạn An bằng đoạn thẳng AB = 1,6m; Bạn An đứng cách cột đèn 6m và góc tạo bởi điểm cao nhất của cột đèn và điểm cao nhất của bạn An với phương ngang là $\widehat{DAH}={{60}^{\circ }}$. Tính chiều cao của cột đèn (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Bài toán 11. Từ nóc một cao ốc cao 50m, người ta nhìn thấy chân và đỉnh một cột ăng-ten với các góc hạ và nâng lần lượt là $62^{o}$ và $34^{o}$. Tính chiều cao của cột ăng- ten.

Bài toán 12. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten thẳng cao 4 m. Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten lần lượt dưới góc $50^{o}$ và $40^{o}$ so với phương nằm ngang (trên hình 2). Tính chiều cao CH của tòa nhà (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Bài toán 13. Từ đỉnh của 1 ngọn đèo hải đăng cao 150 m so với mặt nước biển, A Phương nhìn thấy một hòn đảo dưới góc 7°15′ so với đường nằm ngang chân đèn. A Phương dự định khám phá hòn đảo với quãng đường ngắn nhất biết rằng trên tàu còn lại 42l dầu, cứ đi 10 m thì tàu tiêu hao 0, 4l dầu. Hỏi thuyền có ra được đảo với số lượng dầu trên hay không?

Bài toán 14. Từ một đài quan $350 \mathrm{~m}$ so với mực nước biển, người ta nhìn thấy một chiếc thuyền bị nạn dưới góc $20^{\circ}$ so với phương ngang của mực nước biển. Muốn đến cứu con thuyền thì phải đi quãng đường dài bao nhiêu mét?

Bài toán 15. Một con thuyền qua khúc sông với vận tốc 3,5km/h mất hết 6 phút. Do dòng nước chảy mạnh nên đã đẩy con thuyền đi qua sông trên đường đi tạo với bờ một góc $25^{o}$. Hãy tính chiều rộng của con sông?

Bài toán 16. Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông với vận tốc 8m/phút bị dòng nước mạnh đẩy xiên nên phải mất 32 phút mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bao nhiêu độ?

Bài toán 17. Một con thuyền với vận tốc 2 km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của con thuyền với bờ một góc 70°. Em hãy tính chiều rộng của khúc sông (làm tròn đến mét)

Bài toán 18. Một chiếc máy bay lên cao cách mặt đất 10km trong khoảng thời gian 2,4 phút. Tính vận tốc của máy bay, biết rằng đường bay lên của máy bay nhân tạo với phương nằm ngang một góc 30 phút.

Bài toán 19. Một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là $272 \mathrm{~m}$, cùng thời điểm đó một cột đèn cao $7 \mathrm{~m}$ có bóng trên mặt đất dài $14 \mathrm{~m} .$ Em hãy cho biết tòa nhà đó có bao nhiêu tầng biết rằng mỗi tầng cao $3,4 \mathrm{~m}$ ?

Bài toán 20. Giông bão thổi mạnh, một cây tre gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất và ngọn cây tạo với mặt đất một góc $30^{o}$. Người ta đo được khoảng cách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến gốc cây tre là $8,5m$. Giả sử cây tre mọc vuông góc với mặt đất, hãy tính chiều cao của cây tre đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Bài toán 21. Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như hình vẽ dưới đây. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét).

Bài toán 22. Một bức tượng cao 3m được đặt trên một cái bệ. Tại một điểm trên mặt đất người ta nhìn thấy nóc tượng và nóc bệ với các góc nâng lần lượt là $64^{o}$ và $42^{o}$. Tính chiều cao của cái bệ.

Bài toán 23. Để đo chiều cao CD của một cái tháp (C là chân tháp, D là đỉnh tháp), một người chọn 2 điểm A,B sao cho C,A,B thẳng hàng và quan sát tháp, kết quả quan sát như hình vẽ, và A cách B 24m. Tính chiều cao của tháp.

Bài toán 24. Trong hè năm 2020 anh Phương có dịp tham quan Hà Nội, Hạ Long, Sa Pa. Và chính đợt đi tham quan hè này anh Phương đã được đến với núi Yên Tử hùng vĩ. Khi tiến gần đến chân núi anh dùng dụng cụ đo góc đo được từ mặt đất nơi anh đứng đến đỉnh núi 1 góc 30° , sau đó anh tiếp túc di chuyển thêm 954 m về phía chân núi theo đường thẳng, tại đây anh đo được 1góc bằng 50°. Em hãy cho biết độ cao của núi Yên Tử là bao nhiêu mét?

Bài toán 25. Tính chiều cao của 1 ngọn núi, biết tại 2 điểm A,B cách nhau 500m, người ta nhìn thấy đỉnh núi D với các góc nâng $34^{o}$ và $38^{o}$.

Bài toán 26. Một người đứng trên tháp quan sát của ngọn hải đăng cao 50 m nhìn về hướng Tây Nam, người đó quan sát hai lần một con thuyền đang hướng về ngọn hải đăng. Lần thứ nhất người đó nhìn thấy thuyền với góc hạ là $20^{o}$, lần thứ 2 người đó nhìn thấy thuyền với góc hạ là $30^{o}$. Hỏi con thuyền đã đi được bao nhiêu mét giữa hai lần quan sát (làm tròn hai chữ số thập phân).

Bài toán 27. Hai trụ điện có cùng chiều cao được dựng thẳng đứng ở 2 bên lề đường của 1 đại lộ rộng 80m. Từ 1 điểm M trên mặt đường giữa 2 trụ điện, người ta nhìn thấy 2 trụ điện với góc nâng lần lượt là 30 và 60 độ. Tính chiều cao của trụ điện và khoảng cách từ M đến mỗi trụ điện.

Bài toán 28. Hai học sinh A (vị trí A) và học sinh B (vị trí B) đang đứng ở mặt đất cách nhau 100m cùng nhìn máy bay trực thăng ở vị trí C. Biết góc nâng ở vị trí A là 55 độ, góc nâng ở vị trí B là 48 độ. Hãy tính độ cao của máy bay so với mặt đất.

Bài toán 29. Hai bạn A và B đứng ở hai đầu bờ hồ cùng nhìn về một cậy (gốc là điểm C). Biết góc nhìn tại A của bạn A là $51^{o}$, góc nhìn tại B của bạn B là $30^{o}$, và khoảng cách từ A đến C là $224$ m, khoảng cách từ B đến C là $348$ m. Hỏi hai bạn A và B đứng cách nhau bao nhiêu mét? (làm tròn mét).

Bài toán 30. Hai người từ hai vị trí quan sát B và C nhìn thấy một chiếc máy bay trực thăng (ở vị trí A) lần lượt dưới góc $27^{o}$  $\left( \widehat{ABC}={{27}^{0}} \right)$ và $25^{o}$ $\left( \widehat{ACB}={{25}^{0}} \right)$ so với phương nằm ngang (trên hình 1). Biết máy bay đang cách mặt đất theo phương thẳng đứng 300 m.

a) Tính khoảng cách BC giữa hai người đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

b) Nếu máy bay đáp xuống mặt đất theo đường AM tạo với phương thẳng đứng một góc $10^{o}$ thì sau 2 phút máy bay đáp xuống mặt đất. Hỏi vận tốc trung bình đáp xuống của máy bay là bao nhiêu km/h? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Bài toán 31(Đề thi tuyển sinh vào 10 TPHCM năm học 2017-2018)

Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi từ nhà (điềm A) đến trường (điểm B) phải leo lên và

xuống một con dốc như hình vẽ dưới. Cho biết đoạn $\mathrm{AB}$ dài $762 \mathrm{~m},$ góc $\mathrm{A}=6^{0},$ góc$\text{B}={{4}^{\circ }}$

a) Tính chiều cao con dốc.

b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ? Biết rằng tốc độ lên dốc là 4km/h và tốc độ xuống dốc là 19km/h.

Bài toán 32. Người ta chiếu sáng 1 căn phòng bằng 1 bóng đèn có chao đèn là 1 hình nón có góc ở đỉnh S bằng $120^{o}$, được đặt cách mặt đất 3m. vùng chiếu sáng là một hình tròn tâm O đường kính AB. Tính diện tích vùng được chiếu sáng trên nền nhà.

Bài toán 33 : Bạn An có tầm mắt cao 1,5m đứng gần một tòa nhà cao thì thấy nóc của tòa nhà với góc nâng $30^{o}$. An đi về phía tòa nhà 20m thì nhìn thấy nóc tòa nhà với góc nâng bằng $65^{o}$. Tính chiều cao của tòa nhà. (Kết quả làm tròn với chữ số thập phân thứ nhất).

Bài toán 34: Trong buổi tập luyện, một tàu ngầm đang ở trên mặt biển bắt đầu lặn xuống và di chuyển theo đường thẳng tạo với mặt nước biển một góc $21^{o}$ (xem hình bên).

a) Khi tàu chuyển động theo hướng đó và đi được 200m thì tàu sẽ ở độ sâu bao nhiêu so với mặt nước biển? (làm tròn đến đơn vị mét)

b) Giả sử tốc độ trung bình của tàu là 9 km/h, thì sau bao lâu (tính từ lúc bắt đầu lặn) tàu ở độ sâu 200m (cách mặt nước biển 200m)? (làm tròn đến phút)

Bài toán 35: Một sân bóng đá nhân tạo có chu vi là 50m. Tính khoảng cách từ góc phạt góc đến đường chéo của sân bóng đá biết chiều dài và chiều rộng tỉ lệ với 3 :2 (làm tròn 2 chữ số thập phân).

Bài toán 36: Một cần cẩu có cánh tay dài 8,5m đang nâng một vật lên cao như hình vẽ bên dưới. Biết vật cách thân cần cẩu là 5,5m. Hãy tính độ cao tối đa mà cần cẩu có thể nâng vật đó lên. Làm tròn kết quả đến hàng chục.

Bài toán 37: Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm. Thiết bị này có góc chiếu sáng là 200 và cần đặt cao hơn mặt đất là 2,5m. Người ta đặt thiết bị này sát tường và canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường 2m. Hãy tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất.

Bài toán 38: Kim tử tháp kê ốp – Ai Cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh (hình vẽ). Mỗi cạnh bên của kim tự tháp dài 214m, cạnh đáy của nó dài 230m.

a) Tính theo mét chiều cao h của kim tự tháp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

b) Tính góc tạo bởi cạnh bên của kim tự tháp so với mặt đất (làm tròn đến phút)

.

ĐÁP ÁN TOÁN THỰC TẾ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Bài toán 1

Xét $\Delta ABC$ vuông tại A, ta có:

$tan \hat{C}=tan 60^{\circ}=\sqrt{3}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

$\sqrt{3}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow AB=2,9\times \sqrt{3}$

Vậy chiều cao cột điện là $AB=4.93$ mét.

Bài toán 2

- Xét $\triangle A B C$ vuông tại $A$, ta có:

$cos B=\frac{AB}{BC}\text{ }$

$\Rightarrow AB=BC \cdot \cos B=6\cdot \cos {{65}^{{}^\circ }}\approx 2,5~\text{m}$

Vậy cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng $2,5 \mathrm{~m}$

Bài toán 3

Do tam giác ABC cân nên đường cao AH cũng là trung tuyến hay H là trung điểm BC.

Xét $\Delta \mathrm{ABH}$ vuông tại $\mathrm{H}$, ta có:

$sin B=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AB=\frac{AH}{sin B}=\frac{2}{sin {{75}^{\circ }}}\approx 2,07m$

Vậy thang đơn có chiều dài là 2,07 m

Bài toán 4

Chân thang cách chân tường 1,5m: MN = 1, 5m.

$\Delta$ MAN vuông tại M: $sin \widehat{M A N}=\frac{M N}{A N}$

$\Rightarrow l_{\text {thang }}=\frac{M N}{sin \widehat{M A N}}=\frac{1,5}{1: 2}=3(m)$. Vậy thang dài $3 \mathrm{~m}$.

Bài toán 5

Dựa vào hình vẽ bài toán, ta có:

Xét $\Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A},$ ta có:

 $\operatorname{tanB}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{5,7}{8,3}$ (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

$\Rightarrow \hat{\mathrm{B}} \approx 34^{0} 28^{\prime}$

Và $:\text{B}{{\text{C}}^{2}}=\text{A}{{\text{B}}^{2}}+\text{A}{{\text{C}}^{2}}$ (định lý Pytago)

$\Rightarrow \mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}}=\sqrt{(8,3)^{2}+(5,7)^{2}} \approx 10,1(\mathrm{~cm})$

Vậy góc tạo bởi chùm tia với mặt da là $34^{0} 28$ ' và chùm tia phải đi một đoạn dài khoảng $10,1 \mathrm{~cm}$ để đến được khối u.

Bài toán 6

Xét $\Delta CDH:$

$\left\{\begin{array}{l} AB//CD(\bot AC)\\A\in CH;B\in DH\end{array} \right.$ $\Rightarrow \dfrac{AB}{CD}=\dfrac{AH}{CH}$ (Định lí Talet)

$\Rightarrow \frac{A B}{A H}=\frac{C D}{C H}=\frac{C D-A B}{A C} .$

Ngoài ra $\quad \cot \widehat{B D C}=\frac{C D}{C H}$

nên $\frac{C D-1,6}{6}=\cot 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow C D=2 \sqrt{3}+1,6 \approx 5,1(m)$

Vây chiều cao cột đèn xấp xỉ 5,1m.

Bài toán 7

Hạ $\text{AH}\bot \text{BC}$. $AH=1,2m,AM=HB=1,5m$

Tứ giác AHBM là hình chữ nhật

$\text{A}{{\text{B}}^{2}}=1,{{2}^{2}}+1,{{5}^{2}}=3,69$

Xét tam giác vuông ABC có chiều cao AH nên:

$\text{A}{{\text{B}}^{2}}=\text{BH}.\text{BC}\Rightarrow \text{BC}=\frac{\text{A}{{\text{B}}^{2}}}{\text{BH}}=\frac{3,69}{1,5}=2,46,,\text{m}$.

Vậy chiều cao của cây là $2,46,,\text{m}$.

Bài toán 8

Theo bài toán ta có hình vẽ sau:

Ta cần tính đoạn AB. Dựng AH vuông BC tại H. Xét tam giác AHB vuông tại H:

$A H=D C=10, H B=B C \rightarrow A D=8-4=4$

$\Rightarrow A B=\sqrt{A H^{2}+H B^{2}}=\sqrt{10^{2}+4^{2}}=\sqrt{116} \approx 10.78 m$. Vậy độ dài băng chuyền AB=10,78m.

Bài toán 9

Vẽ hình và đặt tên các điểm như hình vẽ.

Ta có: $B E=1,5 m ; A D=16,5 m ; D E=20 m$.

Từ $B$ kẻ $B C \perp A D$. Ta có: BCDE là hình chữ nhật

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} CD = BE=1,5m \\ BC=ED=20m \end{array}\right.$

Mà: $A D=A C+C D$

$\Rightarrow A C=A D-C D=16,5-1,5=20(m)$

Áp dụng định lý Pytago cho $\triangle A B C$ vuông tại $C$, ta có:

$B C^{2}+A C^{2}=A B^{2} \Leftrightarrow 20^{2}+15^{2}=A B^{2}$

 $\Rightarrow A B=\sqrt{625}=25(\mathrm{~m})$

Vậy khoảng cách từ mắt người đó đến điểm A là $25 \mathrm{~m}$.

Bài toán 10

AHCB là hình chữ nhật $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}H C=A B=1,6 m \\ A H=B C=6 m \end{array}\right.$

Xét $\Delta A D H$ vuông tại $H$, ta có:

$tan \widehat{D A H}=\frac{D H}{A H} \Leftrightarrow tan 60^{\circ}=\frac{D H}{6} \Leftrightarrow D H=tan 60^{\circ} .6=6 \sqrt{3}(m)$

Ta có: $D C=D H+H C=6 \sqrt{3}+1,6 \simeq 12(m)$. Vậy cột đèn cao khoảng 12m.

Bài toán 11

Ta có: $A B=D C$

$ \Rightarrow BD\text{ }=\frac{DC}{tan {{62}^{^{{}^\circ }}}}=\frac{50}{tan {{62}^{^{{}^\circ }}}}$

$\Rightarrow DE\text{ }=tan {{34}^{^{{}^\circ }}}\cdot BD=tan {{34}^{^{{}^\circ }}}\cdot \frac{50}{tan {{62}^{^{{}^\circ }}}}$

$\Rightarrow CE=CD+DE=50+tan {{34}^{^{{}^\circ }}}\cdot \frac{50}{\tan {{62}^{^{{}^\circ }}}}\approx 67.932 $

Vậy chiều cao của cột ăng ten là 67,932cm.

Bài toán 12

$tan \widehat{BAD}-tan \widehat{CAD}=\frac{BD}{AD}-\frac{CD}{AD}$

$tan{{50}^{0}}-tan{{40}^{0}}=\frac{BC}{AD}=\frac{4}{AD}$

$\Rightarrow AD=\frac{4}{tan{{50}^{0}}-tan{{40}^{0}}}\approx 11,343(m)$

Xét CAD vuông, có: $tan \widehat{CAD}=tan {{40}^{0}}=\frac{CD}{AD}\Rightarrow CD=AD.tan {{40}^{0}}=11,343.tan {{40}^{0}}\approx 9,518(m)$

Chiều cao CH của tòa nhà: $CH = CD + DH = 9,518 + 7= 16,518 (m)$

Bài toán 13

Xét sơ đồ như hình vẽ với $A$ là vị trí hoàn đảo, $H$ là chân ngọn hải đăng, $C$ đỉnh ngọn hải đăng với $C H=150(\mathrm{~m})$.

Xét tam giác vuông AHC ta có :

$tan 7^{\circ} 15^{\prime}=\frac{C H}{A H} \Rightarrow A H=\frac{C H}{tan 7^{\circ} 15^{\prime}}=\frac{150}{tan 7^{\circ} 15^{\prime}} \approx 1179,1(m)$

Vì trên tàu A Phương còn lại 42 l dầu, cứ đi $10 \mathrm{~m}$ thì tàu tiêu hao 0,4 l dầu nên quảng đường mà tàu A Phương đi được xa nhất là : $\frac{42}{0,4} .10=1050(\mathrm{~m})$.

Vậy thuyền A Phương không thể ra được đảo với số lượng dầu trên.

Bài toán 14

Hình vẽ minh họa bài toán: (hình bên)

Theo đề bài, ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{CBx}={{20}^{\circ }}$

(vì $AC//Bx$ và 2 góc ở vị trí so le trong)

  • Xét $\Delta A B C$ vuông tại $A$,

$tan \widehat{ACB}=\frac{AB}{AC}\text{ }$

$\Rightarrow A C=\frac{A B}{tan \widehat{A C B}}=\frac{350}{tan 20^{\circ}} \approx 961,6 \mathrm{~m}$

Vậy muốn cứu con thuyền thì phải đi quãng đường dài khoảng $961,6 \mathrm{~m}$.

Bài toán 15

Hình vẽ minh họa bài toán:

Đổi: 6 phút $=\frac{1}{10} \mathrm{~h}$

Quãng đường con thuyền đi được là:

$\mathrm{AC}=S_{\mathrm{AC}}=\mathrm{v.t}=3,5 \cdot \frac{1}{10}=0,35 \mathrm{~km}=350 \mathrm{~m}$

- Xét $\Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{B}$, ta có:

$cos A=\frac{AB}{AC} \Rightarrow AB=AC\cdot sin A=350.cos 25\approx 317,2m$

Vậy chiều rộng của con sông là $147,92 \mathrm{~m}$

Bài toán 16

Dòng nước vuông góc hướng di chuyển ban đầu của con đò nên vận tốc mới của con đò là:

$v=\sqrt{v_{d o}^{2}+v_{\text {cano }}^{2}}=2 \sqrt{17}$ (m/phút)

Quãng đường chiếc đò di chuyển với vận tốc mới trong 32 phút:

$s=v t=64 \sqrt{17}(m)$

Ta dùng công thức lượng giác: $cos \alpha=\frac{250}{64 \sqrt{17}} \rightarrow \alpha=\arccos \frac{250}{64 \sqrt{17}}=18^{0} 39^{\prime} 54.75^{\prime \prime}$

Vậy dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc $18^{0} 39^{\prime} 54.75^{\prime \prime}$.

Bài toán 17

Đổi $2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=\frac{2000}{3600}(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$ và 5 phút $=300$ ( giây)

Gọi $A$ là điểm thuyền suất phát, $B$ điểm thuyền tới bên bờ bên kia . $H$ là hình chiếu của $B$ sang bờ bên này.

Ta có : $A B=\frac{2000}{3600} \cdot 300=\frac{500}{3}(m)$

Xét tam giác vuông ABH vuông tại $H$

$sin 70^{\circ}=\frac{B H}{A B} \Rightarrow B H=A B \cdot \sin 70^{\circ}=\frac{500}{3} \cdot \sin 70^{\circ} \approx 156.62(\mathrm{~m})$.

Bài toán 18 

Ta có BC là quãng đường bay của máy bay trong 2,4 phút:

$\frac{A C}{B C}=sin 30^{\prime} \Rightarrow B C=\frac{A C}{sin 30^{\prime}} \approx 1145,93(\mathrm{~km})$

Đổi đơn vị 2,4 phút $=0,04$ giờ = 144 giây

Vận tốc máy bay: $v=\frac{s}{t}=\frac{1145,93}{0.04} \approx 28648,25(\mathrm{~km} / \mathrm{h})=\frac{28648,25(\mathrm{~km})}{3600(\mathrm{~s})}=7,958(\mathrm{~km} / \mathrm{s})$

Bài toán 19

Hình vẽ minh họa bài toán:

Vì các góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên $\overset \frown{C}=\overset\frown{C'}$

$\Rightarrow tan \hat{C}=tan \hat{C}^{\prime }\Leftrightarrow \frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{{{\text{A}}^{\prime }}{{\text{B}}^{\prime }}}{{{\text{A}}^{\prime }}{{\text{C}}^{\prime }}}\text{ }$

$\Rightarrow \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}=\frac{\mathrm{AB} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{7.272}{14}=136 \mathrm{~m}$

Vậy tòa nhà có: $\frac{136}{3,4}=40$ (tầng)

Bài toán 20

Đưa bài toán về dữ kiện hình học: cho cây tre AB vuông góc mặt đất, đoạn tre BD bị gãy tại D và ngọn cây chạm đất tại C;

phần bị gãy CD tạo với mặt đất CA một góc 30 độ; người ta đo được AC bằng 8,5m. Tính chiều cao cây tre.

Tam giác $\Delta A C D$ vuông tại $A$ có $A C=8,5 m, \widehat{A C D}=30:$ áp dụng công thức lượng giác:

$\frac{A C}{C D}=sin \widehat{D C A}=sin 30^{\circ} \rightarrow C D=\frac{A C}{sin 30^{0}}=\frac{8,5.2}{\sqrt{3}}=\frac{17}{\sqrt{3}}(m)$

$\frac{A D}{C D}=cos \widehat{D C A}=cos 30^{\circ} \rightarrow A D=C D \cdot cos 30^{\circ}=\frac{17}{2 \sqrt{3}}=\frac{8,5}{\sqrt{3}}(m)$

Suy ra $A B=B D+A D=A D+C D=\frac{8,5+17}{\sqrt{3}} \approx 14,72(\mathrm{~m})$

Bài toán 21

Xét $\Delta$ AIK vuông tại I, ta có:

$tan \widehat{AKI}=\frac{\text{AI}}{\text{IK}}\text{ }\Rightarrow \text{AI}=\text{IK}.tan \widehat{AKI}=380.tan {{50}^{{}^\circ }}\approx 453~\text{m}$

Xét $\Delta$ BIK vuông tại I, ta có:

$tan \widehat{BKI}=\frac{\text{BI}}{\text{IK}}\text{ }$

$\Rightarrow \mathrm{BI}=\mathrm{IK} \cdot \tan \widehat{BKI}=380 \cdot tan \left(15^{0}+50^{\circ}\right)=380 \cdot tan 65^{\circ} \approx 815 \mathrm{~m}$

$\bullet$ Ta có: $\mathrm{AB}+\mathrm{AI}=\mathrm{BI}$

$\Rightarrow \mathrm{AB}= \mathrm{BI}-\mathrm{AI}=815-453=362 \mathrm{~m}$

Vậy khoảng cách giữa chúng là $362 \mathrm{~m}$.

Bài toán 22

Theo đề bài, ta có hình vẽ

Khi đó chiều cao của cái bệ là AC

Xét $\Delta$ ABC vuông tại A, ta có:

$tan \widehat{C B A}=\frac{A C}{A B} \Rightarrow tan 42^{\circ}=\frac{x}{A B} \Rightarrow A B=\frac{x}{\tan 42^{\circ}}$

Xét tam giác ABD vuông tại A, ta có:

$tan \widehat{D B A}=\frac{A C}{A B} \Rightarrow tan 64^{\circ}=\frac{3+x}{A B} \Rightarrow A B=\frac{3+x}{tan 64^{\circ}}$

Từ (1) và (2) ta có $: \frac{x}{tan 42^{\circ}}=\frac{3+x}{tan 64^{\circ}} \Rightarrow x \approx 2,35$

Vậy chiều cao của cái bệ là $2,35 \mathrm{~m}$.

Bài toán 23

Áp dụng các công thức lượng giác trong tam giác $\mathrm{CAD}, \mathrm{CBD}:$

$\frac{A C}{D C}=\cot \widehat{D A C}=\cot 60^{\circ} ; \frac{B C}{D C}=\cot \widehat{D B C}=\cot 48^{\circ}$

$\Rightarrow \frac{B C-A C}{D C}=\cot 48^{0}-\cot 60^{\circ} \Rightarrow C D=\frac{A B}{\cot 48^{0}-\cot 60^{\circ}} \approx 74,3(\mathrm{~m})$

Vây chiều cao của tháp xấp xỉ $74,3 \mathrm{~m}$.

Bài toán 24

Xét sơ đồ như hình vẽ với $A$ là điểm đầu tiên người đó đó góc từ mặt đất nơi anh đứng đến đỉnh núi 1 góc $30^{\circ}$ và $B$ là điểm khi người đó di chuyển thêm 954m về phía chân núi theo đường thẳng, tại đây anh đo được l góc bằng $50^{\circ}, C$ là đỉnh núi và CH là đường cao của đỉnh núi yên tử. Gọi $x(m)$ là chiều cao của đỉnh núi yên tử $x>0$

Xét tam giác vuông AHC ta có $: tan 30^{\circ}=\frac{C H}{H A} \Rightarrow A H=\frac{C H}{tan 30^{\circ}}=x \sqrt{3}$

Xét tam giác vuông BHC ta có : $\tan 50^{\circ}=\frac{C H}{H B} \Rightarrow B H=\frac{C H}{tan 50^{\circ}}=\frac{x}{tan 50^{\circ}}$

Vì theo giả thiết ta có : $A B=A H-H B=x \sqrt{3}-\frac{x}{tan 50^{\circ}}=954(m) \Rightarrow x=1068,37(\mathrm{~m})$

Bài toán 25

Gọi chân núi là C, ta có hình vẽ tượng trưng.

Áp dụng các công thức lượng giác trong tam giác CAD,CBD :

$\frac{A C}{D C}=\cot \widehat{D A C}=\cot 34^{\circ} ; \frac{B C}{D C}=\cot \widehat{D B C}=cot 38^{\circ}$

$ \Rightarrow \frac{AC-BC}{DC}=\cot {{34}^{{}^\circ }}-cot {{38}^{0}} $

$\Rightarrow CD=\frac{AB}{cot {{34}^{0}}-cot {{38}^{0}}}\approx 2467,68(~\text{m})$

Vây chiều cao của ngọn núi xấp xỉ 2467,68 m.

Bài toán 26

Ta có: $\widehat{BCA}=\widehat{xBC}={{20}^{0}}$ (so le trong) ;

$\widehat{BDA}=\widehat{xBD}={{30}^{0}}$ (so le trong)

$cot \widehat{BCA}-cot \widehat{BDA}=\frac{CA}{AB}-\frac{DA}{AB}$

$cot{{20}^{0}}-cot {{30}^{0}}=\frac{CD}{AB}=\frac{CD}{50}\Rightarrow CD=50.\left( cot{{20}^{0}}-cot {{30}^{0}} \right)\approx 50,77(m)$

Vậy  giữa hai lần quan sát , con thuyền đã đi được 50,77 m.

Bài toán 27

Đưa bài toán về dữ kiện hình học: gọi AB, CD lần lượt là 2 trụ điện, A và C là chân trụ điện. Ta có hình vẽ tượng trưng như sau:

Áp dụng các công thức lượng giác: $cot \widehat{A M B}=\frac{A M}{A B} ; cot \widehat{C M D}=\frac{C M}{C D}$

$AC=AM+CM$

$=AB\left( cot {{60}^{{}^\circ }}+cot {{30}^{{}^\circ }} \right)$

$=AB\left( \sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3} \right)$

$\Rightarrow AB=\frac{AC}{4}\sqrt{3}\approx 34,64m$

$A M=A B \cdot cot 30^{\circ}=60(m), C M=A C-A M=20(m)$

Vậy chiều cao trụ điện xấp xỉ $34,64 \mathrm{~m}$ và khoảng cách từ M tới mỗi trụ điện lần lượt là $20 \mathrm{~m}, 60 \mathrm{~m}$

Bài toán 28

Áp dụng các công thức lượng giác trong tam giác CHA, CHB.

$\frac{AH}{CH}=cot \widehat{CAH}=cot {{55}^{{}^\circ }};\frac{BH}{CH}=cot \widehat{CBH}=cot {{40}^{{}^\circ }},$

$\Rightarrow \frac{BH+AH}{CH}=cot {{40}^{{}^\circ }}+cot {{55}^{{}^\circ }}$

$\Rightarrow CH=\frac{AB}{cot {{40}^{{}^\circ }}+cot {{55}^{{}^\circ }}}\approx 52,86(m)$

Vậy độ cao của máy bay so với mặt đất xấp xỉ 52,86m.

Bài toán 29

Theo đề bài ta có hình vẽ sau

$cos \widehat{CAH}=cos {{51}^{0}}=\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{224}$

$\Rightarrow AH=224.cos {{51}^{0}}\approx 141(m)$

$cos \widehat{CBH}=cos {{30}^{0}}=\frac{BH}{BC}=\frac{BH}{348}$

$\Rightarrow BH=348.cos {{30}^{0}}\approx 301(m)$

$AB = AH + BH = 141 + 301 = 442$(m)

Vậy hai bạn A và B đứng cách nhau $442$ m.

Bài toán 30

a)$cot\widehat{ABC}+cot\widehat{ACB}=\frac{BH}{AH}+\frac{CH}{AH}$

$cot{{27}^{0}}+cot {{25}^{0}}=\frac{BC}{AH}=\frac{BC}{300} \Rightarrow BC = 300.(cot270 + cot250) 1232,135(m)$

b) AHM vuông, có: $cos \widehat{HAM}=cos {{10}^{0}}=\frac{AH}{AM}=\frac{300}{AM}\Rightarrow AM=\frac{300}{cos {{10}^{0}}}\approx 304,628(m)$

Vậy vận tốc trung bình đáp xuống của máy bay : $\frac{0,304628}{2:60}\approx 9,139(km/h)$.

Bài toán 31

a) $\bullet$ Xét $\Delta \mathrm{ACH}$ vuông tại $\mathrm{H},$ ta có:

$tan\widehat{CAH}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}$ $\Rightarrow \text{AH}=\frac{\text{CH}}{tan\widehat{CAH}}=\frac{\text{CH}}{tan {{6}^{{}^\circ }}}(1)$

- Xét $\Delta \mathrm{BCH}$ vuông tại $\mathrm{H},$ ta có:

$tan\widehat{CBH}=\frac{CH}{BH}\Rightarrow BH=\frac{CH}{tan\widehat{CBH}}=\frac{CH}{tan {{4}^{0}}}$

Từ (1) và (2):

$\Rightarrow \text{AH}+\text{BH}=\frac{\text{CH}}{tan {{6}^{0}}}+\frac{\text{CH}}{tan {{4}^{{}^\circ }}}\Leftrightarrow \text{AB}=\text{CH}\left( \frac{1}{tan {{6}^{{}^\circ }}}+\frac{1}{tan {{4}^{{}^\circ }}} \right)\Leftrightarrow 762=\text{CH}\left(\frac{1}{tan {{6}^{{}^\circ }}}+\frac{1}{tan {{4}^{{}^\circ }}} \right)$

$\Rightarrow \mathrm{CH}=\frac{762}{\frac{1}{tan 6^{\circ}}+\frac{1}{tan 4^{\circ}}} \approx 32 \mathrm{~m}$

- Vậy chiều cao của con dốc là $32 \mathrm{~m}$.

b) $\bullet$ Xét $\Delta \mathrm{ACH}$ vuông tại $\mathrm{H},$ ta có:

$sin \widehat{CAH}=\frac{\text{CH}}{\text{AC}}\text{ }$

$\Rightarrow \text{AC}=\frac{\text{CH}}{\sin {{6}^{{}^\circ }}}=\frac{32}{sin {{6}^{{}^\circ }}}$

- Xét $\Delta \mathrm{BCH}$ vuông tại $\mathrm{H},$ ta có:

$sin \widehat{CBH}=\frac{\text{CH}}{\text{CB}}\text{ }\Rightarrow \text{CB}=\frac{\text{CH}}{sin {{4}^{0}}}=\frac{32}{sin {{4}^{0}}}(4)$

Đổi đơn vị: $4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=\frac{10}{9} \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; 19 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=\frac{95}{18} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

- Thời gian lên dốc $\mathrm{AC}$ là:

$\mathrm{t}_{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{S}_{\mathrm{AC}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{AC}}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{V}_{\mathrm{AC}}}=\frac{32 / sin 6^{\circ}}{14,4}(\mathrm{~s})$

- Thời gian xuống dốc $\mathrm{CB}$ là:

$\mathrm{t}_{\mathrm{CB}}=\frac{\mathrm{S}_{\mathrm{CB}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{CB}}}=\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{V}_{\mathrm{CB}}}=\frac{32 / sin 4^{0}}{68,4}(\mathrm{~s})$

- Thời gian đi từ $\mathrm{A}$ đến $\mathrm{B}$ là:

$\mathrm{t}_{\mathrm{AB}}=\mathrm{t}_{\mathrm{AC}}+\mathrm{t}_{\mathrm{CB}}=\frac{32}{\frac{10}{9} \cdot sin 6^{0}}+\frac{32}{\frac{95}{18} \cdot sin 4^{0}} \approx 362,44 \mathrm{~s} \approx 6 \text { phút } 3 \text { giây }$

Bài toán 32

Tam giác SAB cân tại S, O trung điểm AB nên SO vuông góc với AB, suy ra SO đồng thời là khoảng cách từ S đến mặt đất.

$\Delta S A O: \widehat{S A O}=\frac{1}{2}\left(180^{0}-\widehat{A S B}\right)=30^{0}, S O=3 m \Rightarrow A O=\frac{S O}{tan 30^{0}}=\frac{3}{\sqrt{3}: 3}=3 \sqrt{3}(m)$

Diện tích vùng được chiếu sáng: $S_{(O ; A O)}=pi A O^{2}=pi(3 \sqrt{3})^{2}=27 \pi\left(m^{2}\right)$

Bài toán 33

Theo đề bài ta có hình vẽ sau :

$cot{{30}^{0}}-cot {{65}^{0}}=\frac{A{{A}_{2}}}{C{{A}_{2}}}-\frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{C{{A}_{2}}}=\frac{A{{A}_{1}}}{C{{A}_{2}}}=\frac{20}{C{{A}_{2}}}$

$\Rightarrow C{{A}_{2}}=\frac{20}{cot{{30}^{0}}-cot {{65}^{0}}}\approx 15,8(m)$

Chiều cao của tòa nhà :

$CB_{2} = CA_{2} + A_{2}B_{2}$

$CB_{2} = 15,8 + 1,5 = 17,3$(m). Vậy chiều cao tòa nhà là $17,3m.$

Bài toán 34

Theo đề bài ta có hình vẽ sau:

a) Xét ABC vuông, có:

$sin A=sin {{21}^{0}}=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{200}\Rightarrow BC=200.sin {{21}^{0}}$

$BC \approx 72 (m)$

Vậy tàu ở độ sâu so với mặt nước biển là 72m

b) Xét ABC vuông, có:

$sin A=sin {{21}^{0}}=\frac{DE}{AE}=\frac{200}{AE}\Rightarrow AE=\frac{200}{sin {{21}^{0}}}= 558(m)$

Quãng đường tàu đi được là $558m.$

Thời gian tàu lặn xuống ở độ sâu $200m:$

$558:\frac{9000}{60}=3,72\approx 4$ (phút).

Bài toán 35

Gọi $x$(m), $y$(m) lần lượt là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật $(x, y > 0)$

Theo đề bài ta có:

$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$ và $2(x + y) = 50$

$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$ và $x + y = 25$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{x+y}{2+3}=\frac{25}{5}=5$

$x = 15 ; y = 10$

$AB = 15(m) ; AD = 10(m)$

Ta có:

$\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}$ (HTL trong tam giác vuông)

$\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{15}^{2}}}+\frac{1}{{{10}^{2}}}=\frac{13}{900}$ AH 8,32(m)

Vậy khoảng cách từ góc phạt góc đến đường chéo của sân bóng đá là 8,32 m.

Bài toán 36

Vẽ thêm yếu tố phụ

Bài toán trở thành tính độ dài BC.

Trong $\Delta \mathrm{ABC}$ vuông ở A có:

$\frac{1}{\mathrm{AH}^{2}}=\frac{1}{\mathrm{AB}^{2}}+\frac{1}{\mathrm{AC}^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{5,5^{2}}=\frac{1}{\mathrm{AB}^{2}}+\frac{1}{8,5^{2}} \Rightarrow \mathrm{AB} \approx 7,2 \mathrm{~m}$

Áp dụng định lý Pythagore trong $\triangle \mathrm{ABC}$ vuông $\dot{\mathrm{o}}$ A ta có:

$\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=7,2^{2}+8,5^{2}=124,09 \Rightarrow \mathrm{BC} \approx 11,14 \mathrm{~m}$

Vậy độ cao tối đa mà cần cầu có thể nâng vật đó lên là khoảng $11,14 \mathrm{~m}$.

Bài toán 37

Xét $\Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{B}$, ta có:

$\operatorname{tanBAC}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{2}{2,5}=0,8$

$\Rightarrow \widehat{BAC} \approx 38,7^{0}$

Ta có:$\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat\{CAD}=38,7^{0}+20^{\circ}=58,7^{\circ}$

Xét $\Delta \mathrm{ABD}$ vuông tại $\mathrm{B}$, ta có:

$tan \mathrm{BAD}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}$

$\Rightarrow \mathrm{BD}=\mathrm{AB} \cdot \operatorname{tanBAD}=2,5 \cdot tan 58,7^{0} \approx 4,1 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow \mathrm{CD}=\mathrm{BD}-\mathrm{BC}=4,1-2=2,1 \mathrm{~m}$

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất là $2,1 \mathrm{~m}$.

Bài toán 38

$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}=230 \mathrm{~m}$

$\mathrm{SA}=\mathrm{SB}=\mathrm{SC}=\mathrm{SD}=214 \mathrm{~m}$

$\Delta \mathrm{SOA}, \Delta \mathrm{SOB}, \Delta \mathrm{SOC}, \Delta \mathrm{SOD}$ là các tam giác vuông tại $\mathrm{O}$.

- Xét $\Delta$ ABC vuông tại A, ta có:

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$ (đinh lý Pytago)

$\Rightarrow A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=\sqrt{230^{2}+230^{2}}=230 \sqrt{2} m$

- Ta có: $O C=\frac{A C}{2}=\frac{230 \sqrt{2}}{2}=115 \sqrt{2} \mathrm{~m}$ (vì O là trung điểm của $\left.A C\right)$

- Xét $\Delta$ SOC vuông tại O, ta có:

$\text{S}{{\text{C}}^{2}}=\text{S}{{\text{O}}^{2}}+\text{O}{{\text{C}}^{2}}\text{ (định lí Pytago) } $

$\Leftrightarrow {{214}^{2}}={{\text{h}}^{2}}+{{(115\sqrt{2})}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{\text{h}}^{2}}={{214}^{2}}-{{(115\sqrt{2})}^{2}}$

$\Rightarrow \text{h}=\sqrt{{{214}^{2}}-{{(115\sqrt{2})}^{2}}}\approx 139,1~\text{m}$

Vậy chiều cao h của kim tự tháp là $139,1 \mathrm{~m}$

b) $\bullet$ Xét $\Delta$ SOC vuông tại $\mathrm{O},$ ta có:

$cos \mathrm{SOC}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{SC}}=\frac{115 \sqrt{2}}{214}$ (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

$\Rightarrow \mathrm{SOC} \approx 40^{\circ} 32^{\prime}$.