BÀI 2: TOÁN THỰC TẾ VỀ ĐƯỜNG TRÒN

Trong bài học này chúng ta sẽ đi tìm hiểu các bài toán thực tế về đường tròn dành cho học sinh lớp 9, một dạng toán tương đối mới xuất hiện gần đây trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10…

Bài giảng toán thực tế về đường tròn

>>Xem tiếp: Bài 3. Hình trụ – Hình nón – Hình cầu

>>Xem đầy đủ các bài học tại đây: TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10

>> Tham gia ngay group học tập trên facebook: Nhóm Hệ thống toán 9 – ôn thi vào 10

CHỦ ĐỀ 2: TOÁN THỰC TẾ VỀ ĐƯỜNG TRÒN

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

B. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Ở các nước xứ lạnh, vào mùa Đông thường có tuyết rơi dày đặc khắp các con đường, trẻ em tại đây rất thích đắp hình dạng của người tuyết. Có thể xem phần thân dưới và thân trên của người tuyết là hai hình cầu tiếp xúc nhau. Em hãy tính kích thước của hai viên tuyết cần đắp để được một người tuyết cao 1,8m biết rằng đường kính của phần thân dưới phải gấp đôi đường kính của phần thân trên người tuyết.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa bài toán:

Ta có: $1,8 \mathrm{~m}=180 \mathrm{~cm}$

Gọi $\mathrm{r}$ (cm) là bán kính của đường tròn nhỏ

$\Rightarrow$ Đường kính của đường tròn nhỏ là $2 \mathrm{r}(\mathrm{cm})(\mathrm{r}>0)$

$\Rightarrow$ Đường kính của đường tròn lớn là: $2.2 \mathrm{r}=4 \mathrm{r}(\mathrm{cm})$

Ta có: $2 r+4 r=180$ (vì (O) tiếp xúc vó'i $\left( {{O}^{\prime }} \right)$ ) $\Leftrightarrow 6 r=180 \Leftrightarrow r=30 \mathrm{~cm}$

Vậy để đắp người tuyết có chiều cao là $1,8 \mathrm{~m}$ thì ta cần đắp hai quả cầu tuyết có đường kính lần lượt là $60 \mathrm{~cm}$ và $120 \mathrm{~cm}$.

Ví dụ 2: Một vệ tinh nhân tạo địa tĩnh chuyển động theo quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất một khoảng 36000km , tâm quỹ đạo vệ tinh trùng với tâm O của Trái Đất. Vệ tinh phát tính hiệu vô tuyến theo đường thẳng đến một vị trí trên mặt đất. Hỏi vị trí xa nhất trên Trái Đất có thể nhận tín hiệu từ vệ tinh này cách vệ tinh một khoảng là bao nhiêu km? (ghi kết quả gần đúng chính xác đến hàng đơn vị). Biết rằng Trái Đất được xem như một hình cầu có bán kính 6400km.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa bài toán:

toán thực tế về đường tròn

Ta có: $C O=C E+E O=36000+6400=42400 \mathrm{~km}$

Xét $\Delta$ COA vuông tại A (vì CA là tiếp tuyến của (O) nên CA $\perp$ OA)

$\Rightarrow \mathrm{CO}^{2}=\mathrm{CA}^{2}+\mathrm{OA}^{2}$ (định lí Pytago)

$\Rightarrow \mathrm{CA}^{2}=\mathrm{CO}^{2}-\mathrm{OA}^{2}=42400^{2}-6400^{2}$

$\Rightarrow C A=\sqrt{42400^{2}-6400^{2}} \approx 41914,2 \mathrm{~km}$

Vậy vị trí xa nhất trên Trái Đất có thể nhận tín hiệu của vệ tinh cách vệ tinh khoảng $41914,2 \mathrm{~km}$.

Ví dụ 3: Khí cầu là một túi đựng không khí nóng, thường có khối lượng riêng nhỏ hơn không khí xung quanh và nhờ vào lực đẩy Ác-si-mét có thể bay lên cao. Giả sử có thể xem khinh khí cầu là một khối cầu và các dây nối sẽ tiếp xúc với khối cầu này. Hãy tính chiều dài của các dây nối để khoảng cách từ buồng lái đến điểm thấp nhất của khí cầu là 8m. Biết rằng bán kính của khối cầu này là 10m.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa bài toán.

toán thực tế về đường tròn

Ta có: $O B=O C=O D=R=10 m$

$\Rightarrow O A=A D+D O=8+10=18 m$

Xét $\Delta \mathrm{ABO}$ vuông tại B (vì AB là tiếp tuyến của (O)) $\Rightarrow \mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{AB}^{2}$ (định lí Pytago)

$\Rightarrow \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{OB}^{2}=18^{2}-10^{2}=224$

$\Rightarrow \mathrm{AB}=\sqrt{224}=4 \sqrt{14} \approx 15 \mathrm{~m}$

Vậy chiều dài của các dây nối thỏa yêu cầu bài toán là $15 \mathrm{~m}$.

Ví dụ 4: Người ta muốn xây dựng một cây cầu bắc qua một hồ nước hình tròn có bán kính 2km. Hãy tính chiều dài của cây cầu để khoảng cách từ cây cầu đến tâm của hồ nước là 1732m.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa bài toán

Ta có: $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2 \mathrm{~km}(\mathrm{gt})$

Gọi H là trung điểm của AB, dây AB không qua tâm

$\Rightarrow \mathrm{OH} \perp \mathrm{AB}$ tại $\mathrm{H}$ (liên hệ giữa đường kính và dây cung) $\Rightarrow \mathrm{OH}=1732 \mathrm{~m}=1,732 \mathrm{~km}(\mathrm{gt})$

Xét $\Delta$OHA vuông tại $\mathrm{H}$ $\Rightarrow \mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OH}^{2}+\mathrm{AH}^{2}$ (định lý Pytago)

$\Rightarrow \mathrm{AH}^{2}=\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{OH}^{2}=2^{2}-(1,732)^{2}$

$\Rightarrow \mathrm{AH}=\sqrt{2^{2}-(1,732)^{2}} \approx 1 \mathrm{~km}$

Ta có: $\mathrm{AB}=2 \mathrm{AH}=2.1=2 \mathrm{~km}$ (vì H là trung điểm của $\mathrm{AB}$ )

Vậy chiều dài của cây cầu là khoảng 2 km.

Ví dụ 5: Một bánh xe có dạng hình tròn bán kính 20cm lăn đến bức tường hợp với mặt đất một góc ${{60}^{\circ }}$. Hãy tính khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe đến góc tường.

Hướng dẫn giải:

  • Khi bánh xe chạm tới bức tường thì không thể di chuyển vào thêm được nữa. Điều này có nghĩa khoảng cách của tâm bánh xe đến góc tường ngắn nhất là khi bánh xe tiếp xúc với bức tường và mặt đất.
  • Hình vẽ minh họa bài toán:

  • Xét $\Delta$ OAB vuông tại B (vì AB tiếp tuyến của (O) nên AB $\perp$ OB)

$\Rightarrow \sin \mathrm{B} \hat{\mathrm{A}} \mathrm{O}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OA}}$ (tỉ số lượng giác góc nhọn)

$\Rightarrow \mathrm{OA}=\frac{\mathrm{OB}}{\sin \mathrm{B} \hat{\mathrm{A}} \mathrm{O}}=\frac{20}{\sin 30^{\circ}}=40 \mathrm{~cm}$

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe đến góc tường là $40 \mathrm{~cm}$.

Ví dụ 6: Đường hầm vượt eo biển Măng-sơ nối hai nước Anh và Pháp có chiều dài khoảng 51km. Giả sử rằng vị trí hai đầu đường hầm thuộc Anh và Pháp nằm trên cùng một kinh tuyến ở bề mặt Trái Đất (Trái Đất được xem như một hình cầu có bán kính 6400km). Hãy tính độ sâu nhất của đường hầm so với bề mặt Trái Đất.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa bài toán

Ta có: $\mathrm{AP}=51 \mathrm{~km}, \mathrm{OP}=6400 \mathrm{~km}(\mathrm{gt})$

Kẻ $\mathrm{OH} \perp$ AP tại $\mathrm{C}$

$\Rightarrow$ C là trung điểm của AP (liên hệ giữa đường kính và dây cung) $\Rightarrow \mathrm{PC}=\mathrm{CA}=\frac{\mathrm{AP}}{2}=\frac{51}{2}=25,5 \mathrm{~km}$

Xét $\Delta$ OCP vuông tại

$\Rightarrow \sin \hat{POC}=\frac{\text{PC}}{\text{OP}}=\frac{25,5}{6400}=0,398$

$\Rightarrow \hat{POC}\approx {{23}^{{}^\circ }}{{30}^{\prime }}$

Và: $cos \hat{POC}=\frac{\text{OC}}{\text{OP}}$

$\Rightarrow \text{OC}=\text{OP}\cdot \cos \hat{POC}=6400\cdot \cos {{23}^{{}^\circ }}{{30}^{\prime }}\approx 5869~\text{km}$

$\Rightarrow \mathrm{CH}=\mathrm{OH}-\mathrm{OC}=6400-5864=53,1 \mathrm{~km}$

Vậy độ sâu nhất của đường hầm so với bề mặt Trái Đất là $531 \mathrm{~km}$.

Ví dụ 7: Dây Cu-roa là một trong những bộ truyền được sử dụng rộng rãi trong công nghiệp. Chiều dài dây curoa được xác định theo công thức:

$L=2 a+\frac{\pi\left(d_{1}+d_{2}\right)}{2}+\frac{\left(d_{2}-d_{1}\right)^{2}}{4 a}$

Trong đó:

L: Chiều dài dây cu-roa.

a: Khoảng cách tâm của 2 pu-ly.

$\mathrm{d}_{1}:$ Đường kính của pu-ly 1 (hình tròn nhỏ màu vàng)

$\mathrm{d}_{2}:$ Đường kính của pu-ly 2 (hình tròn lớn màu vàng)

Cho $\mathrm{d}_{1}=10 cm$, $\mathrm{d}_{2}=20 cm$ a=60 cm

a) Tính chiều dài của dây cu-roa.

b) Gọi AB là chiều dài một đoạn dây cu-roa, trong đó A, B lần lượt là tiếp điểm trên của dây cu-roa với 2 đường tròn tạo bởi mặt cắt của 2 pu-ly. Tính AB.

Hướng dẫn giải:

a) Thay $\mathrm{d}_{1}=10, \mathrm{~d}_{2}=20, \mathrm{a}=60$ vào công thức $\mathrm{L}=2 \mathrm{a}+\frac{\pi\left(\mathrm{d}_{1}+\mathrm{d}_{2}\right)}{2}+\frac{\left(\mathrm{d}_{2}-\mathrm{d}_{1}\right)^{2}}{4 \mathrm{a}}$, ta được:

$L=2.6+\frac{\pi(10+20)}{2}+\frac{(20-10)^{2}}{4.6}=\frac{1445+180 \pi}{12} \approx 68094 \mathrm{~cm}$

Vậy chiều dài của dây cu-roa 68094 cm.

b) Hình vẽ minh họa bài toán:

Vẽ $O^{'}C$ vuông góc với $OB$ ($C$ thuộc $OB$)

Xét tứ giác $CABO^{'}$ có: $\hat{\mathrm{C}}=\hat{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{B}}=90^{\circ}$ (vì AB là tiếp tuyến chung của $(\mathrm{O}),\left(\mathrm{O}^{\prime}\right)$ và $\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{C} \perp \mathrm{OB}$ )

$\Rightarrow$ Tứ giác O'ABC là hình chữ nhật $\Rightarrow \mathrm{AC}=\mathrm{BO}^{\prime}$

$\Rightarrow \mathrm{OC}=\mathrm{OA}-\mathrm{AC}=\mathrm{OA}-\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{B}=\mathrm{R}-\mathrm{r}=20-10=10 \mathrm{~cm}$

Xét $\Delta$OCO' vuông tại $C$ $\Rightarrow \mathrm{OO}^{\prime 2}=\mathrm{OC}^{2}+\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{C}^{2}$ (định lý Pytago)

$\Rightarrow \mathrm{O}^{\prime} \mathrm{C}^{2}=\mathrm{OO}^{\prime 2}-\mathrm{OC}^{2}=60^{2}-10^{2}=3500$

$\Rightarrow \mathrm{O}^{\prime} \mathrm{C}=\sqrt{3500}=10 \sqrt{35} \mathrm{~cm}$

$\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{C}=10 \sqrt{35} \mathrm{~cm}$ (vì O'ABC là hình chữ nhật).

Ví dụ 8: Ở một nước nọ, có một hòn đảo hình tròn ở ngoài biển. Hãy xác định vị trí để làm một cái cầu AB (A là một điểm trên đất liền, B là một điểm trên đảo) sao cho độ dài của cây cầu là ngắn nhất.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa bài toán

Xét 3 điểm O, A, B ta có: $A B \geq O A-O B$ (bất đẳng thức tam giác) Vì $\mathrm{OH} \perp \mathrm{AB}$ nên $\mathrm{OA} \geq \mathrm{OH}$ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên) $\Rightarrow \mathrm{AB} \geq \mathrm{OH}-\mathrm{OB}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\mathrm{A} \equiv \mathrm{H}$ và $\mathrm{B}$ nằm giữa $\mathrm{A}$ và $\mathrm{O}$

Vậy để độ dài của chiếc cầu là ngắn nhất, ta đặt vị trí của A và B như sau: A là hình chiếu của O lên d, B là giao điểm của OH và (O).

  •  

BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ĐƯỜNG TRÒN

Bài toán 1. Một vệ tinh A phát sóng về Trái Đất ở vị trí xa nhất là B (xem hình). Hãy tính khoảng cách truyền sóng AB ; biết bán kính Trái Đất là 6400 km và vệ tinh đang ở cách mặt đất 45 200 km( làm tròn tới hàng nghìn ).

Bài toán 2. Vinasat-1 là vệ tinh viễn thông địa tĩnh đầu tiên của Việt Nam được phóng vào vũ trụ lúc 22 giờ 17 phút ngày 18 tháng 4 năm2008 (giờ UTC). Dự án vệ tinh Vinasat-1 đã khởi động từ năm 1998 với tổng mức đầu tư là khoảng hơn 300 triệu USD. Việt Nam đã tiến hành đàm phán với 27 quốc gia và vùng lãnh thổ để có được vị trí 132 độ Đông trên quỹ đạo địa tĩnh.

Hãy tìm khoảng cách từ vệ tinh Vinasat-1 đến mặt đất. Biết rằng khi vệ tinh phát tín hiệu vô tuyến đến một điểm xa nhất trên mặt đất thì từ lúc phát tín hiệu đến mặt đất cho đến lúc vệ tinh thu lại được tín hiệu phản hồi mất khoảng thời gian là 0,28s. Trái đất được xem như một hình cầu có bán kính khoảng 6400km. (ghi kết quả gần đúng chính xác đến hàng đơn vị), giả sử vận tốc sóng vô tuyến là 3.108 m/s.

Bài toán 3. Sóng cực ngắn có tần số 30 - 30000MHz. Năng lượng rất lớn, không bị tầng điện ly hấp thụ, truyền đi rất xa (> 2200km) theo đường thẳng. Dùng trong thông tin liên lạc vũ trụ, ra đa và truyền hình. Tại một thời điểm có hai vệ tinh đang ở hai vị trí A và B cùng cách mặt đất 230km, một tín hiệu (truyền bằng sóng cực ngắn) được truyền đi từ vệ tinh A truyền đến vệ tinh B theo phương AB. Hỏi vệ tinh B có nhận được tín hiệu đó không? Biết khoảng cách giữa A và B theo đường thẳng là 2200km và bán kính Trái Đất là 6400km

Bài toán 4. Để giúp xe lửa chuyển từ một đường ray từ hướng này sang một đường ray theo hướng khác, người ta làm xen giữa một đoạn đường ray hình vòng cung (hình bên). Biết chiều rộng của đường ray là $AB\approx 1,1m$, đoạn $BC\approx 28,4m$. Hãy tính bán kính OA = R của đoạn đường ray hình vòng cung?

Bài toán 5. Một chiếc cầu được thiết kế như hình bên dưới có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB, (MK đi qua tâm của đường tròn chứa cung AMB).

Bài toán 6. Một ngọn đèn hải đăng cao 85m đặt tại bờ biển có góc nâng của đèn không quá $85^{o}$ so với phương thẳng đứng. Biết rằng ánh sáng của ngọn đèn hải đăng phát ra xem như một đường thẳng và đèn có thể xoay tròn xung quanh ngọn hải đăng. Một cây cầu bắc qua biển (rất dài) cách ngọn đèn hải đăng 750m. Hỏi ánh sáng của ngọn đèn hải đăng có chiếu sáng được một đoạn của chiếc cầu hay không? Nếu có hãy tính độ dài đoạn cầu được chiếu sáng đó.

Bài toán 7. Hai hòn đảo xem như hình tròn có khoảng cách tùr tâm hòn đảo này đến tâm hòn đảo kia là khoảng $950 \mathrm{~m}$. Biết rằng đảo lớn có bán kính khoảng $500 \mathrm{~m}$, còn đảo nhỏ có bán kính khoảng $200 \mathrm{~m}$. Người ta cần xây dựng một cây cầu bắc từ đảo này sang đảo kia. Em hãy chọn vị trí để xây cây cầu sao cho chiều dài cây cầu là ngắn nhất, khi đó hãy tính chiều dài này.

Bài toán 8. Một máy bay đi từ vị trí A đến vị trí B (hình 1). Với A và B nằm trên đường tròn (O) (O là tâm trái đất). Biết $\widehat{AOB}= 72^{o}$, bán kính trái đất là OC=6400km, $\pi \approx 3,14$, độ dài cung AB là 8050,96km (chú ý ba điểm O, C, A thẳng hàng). Hãy tính khoảng cách AC từ máy bay đến mặt đất (đơn vị là m và làm tròn đến hàng đơn vị).

Bài toán 9. Hình biểu diễn hệ thống rồng rộc gồm hai hình tròn với khoảng cách giữa hai tâm là 80cm, được kết nối với nhau bởi một sợi dây cu-roa. Dây cu-roa này quấn quanh $\frac{2}{3}$ đường tròn lớn bán kính 50cm và $\frac{1}{3}$ đường tròn nhỏ bán kính 10cm. Hãy tính:

a) Chiều dài dây cu-roa quấn quanh mỗi đường tròn (phần dây tiếp xúc với các đường tròn)

b) Tính chiều dài toàn bộ dây cu-roa.

Bài toán 10. (Bán kính Trái Đất) Một người trong tàu vũ trụ ở độ cao $h(\mathrm{~km})$ so với mặt đất nhìn về Trái Đất một góc $\alpha$ như hình vẽ (xem tàu vũ trụ như là một chất điểm, Trái Đât là hình cầu).

a) Biểu diễn bán kính r của Trái Đất theo $h$ và $\alpha$.

b) Tìm bán kính $r$ của Trái Đất nếu $\alpha=22^{\circ} 47^{\prime}$ và $h=539 \mathrm{~km} .$

Bài toán 11. Người ta ước tính rằng, đường kính của trái đất gấp 3,7 lần so với mặt trăng. Một người đứng ở trái đất quan sát được toàn bộ mặt trăng dưới một góc nhìn khoảng 0,5°. Hãy tính gần đúng khoảng cách từ tâm trái đất đến tâm của mặt trăng, biết rằng chu vi của trái đất là 24.000 dặm. Cho 1 dặm$\approx $1,609km.

ĐÁP ÁN BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ĐƯỜNG TRÒN

Bài toán 1

Theo bài ra, ta có hình vẽ ; với $\text{AM}=45200~\text{km}$

$\text{OA}=\text{OM}+\text{MA}=6400+45200=51600~\text{km}$

Theo DL Pytago : $\text{A}{{\text{B}}^{2}}=\text{O}{{\text{A}}^{2}}-\text{O}{{\text{B}}^{2}}$

$\text{A}{{\text{B}}^{2}}\,\,=\,{{51600}^{2}}-{{6400}^{2}}$

$\text{A}{{\text{B}}^{2}}\,\,=2621600000$

$\text{AB}\approx 51000~\text{km}$

Vậy khoảng cách truyền sóng đi xa nhất từ VT đến TĐ là $51000 \mathrm{~km}$.

Bài toán 2

Hình vẽ minh họa bài toán:

Do thời gian từ lúc truyền tín hiệu đến lúc nhận lại tín hiệu là 0,28 s, nên thời gian tín hiệu truyền từ A đến M là: 0,$28: 2=0,14$ (s)

Độ dài đoạn AM cũng là quãng đường tín hiệu truyền đi được trong 0,14s.

$S=A M=v . t=3.10^{8} .0,14=42.10^{6} \mathrm{~m}=42000 \mathrm{~km}$

Vị trí xa nhất trên trái đất có thể nhận tín hiệu từ vệ tinh là vô số điểm M (với AM là tiếp tuyến kẻ tù A đến đường tròn tâm O)

Vì AM là tiếp tuyến (O)$\Rightarrow \mathrm{OM} \perp \mathrm{AM}$ tại $\mathrm{M}$

Xét tam giác vuông AMO, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

$\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OM}^{2}+\mathrm{MA}^{2}=6400^{2}+42000^{2}=1804960000$

$\Rightarrow \mathrm{OA}=42485 \mathrm{~km}$

Khoảng cách từ vệ tinh Vinasat-1 đến mặt đất là độ dài đoạn AH:

$\mathrm{AH}=\mathrm{AO}-\mathrm{OH}=42485-6400=36085 \mathrm{~km}$.

Bài toán 3

Hình vẽ minh họa bài toán

Kẻ $\text{OH}\bot \text{AB}(\text{H}\in \text{AB})$

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của OA, OB với đường tròn (O).

Ta có: $A M=B N=230 \mathrm{~km}(g t)$ và $\mathrm{OM}=\mathrm{ON}=\mathrm{R}=6400(\mathrm{~km})$

$\Rightarrow \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{AM}+\mathrm{OM}=230+6400=6630(\mathrm{~km})$

$\triangle \mathrm{AOB}$ có $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ nên là tam giác cân tại $\mathrm{O}$.

 $\Rightarrow$ OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

$\Rightarrow \mathrm{H}$ là trung điểm $\mathrm{AB}$ $\Rightarrow \mathrm{HA}=\mathrm{HB}=\frac{\mathrm{AB}}{2}=\frac{2200}{2}=1100 \mathrm{~km}$

Ta có: $\Delta$ AOH vuông tại $\Rightarrow \mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OH}^{2}+\mathrm{AH}^{2}$ (định lý Pytago)

$\Rightarrow \mathrm{OH}^{2}=\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{AH}^{2}$.

$\Rightarrow \mathrm{OH}=\sqrt{\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{AH}^{2}}=\sqrt{6630^{2}-1100^{2}} \approx 6538 \mathrm{~km}$.

Do $\mathrm{OH}>\mathrm{R}(6538 \mathrm{~km}>6400 \mathrm{~km})$ nên vệ tinh ở vị trí B có thể nhận được tín hiệu do vệ tinh ở vị trí A truyền tới theo phương AB.

Bài toán 4

Hình vẽ minh họa bài toán

Thanh ray trùng với BC tiếp xúc với đường tròn (O, OB) tại B nên là tiếp tuyến của đường tròn (O, OB) $\Rightarrow B C \perp O B$

OA cắt đường tròn (O, OA) tại điểm D $(D \neq A) \Rightarrow A D=2 R$

$\Delta$ACD nội tiếp đường tròn (0, OA) có đường kính AD nên là tam giác vuông tại C.

Xét $\Delta$ACD vuông tại C, đường cao BC, ta có:

$\mathrm{CB}^{2}=\mathrm{AB} . \mathrm{BD}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\Leftrightarrow \mathrm{CB}^{2}=\mathrm{AB}(\mathrm{AD}-\mathrm{AB})$

$\Leftrightarrow \mathrm{CB}^{2}=\mathrm{AB}(2 \mathrm{R}-\mathrm{AB})$

$\Leftrightarrow(28,4)^{2}=1,2(2 \mathrm{R}-1,1)$

$\Leftrightarrow 2 \mathrm{R}=807,77$

$\Leftrightarrow R=367,2 \mathrm{~m}$.

Vậy bán kính OA của đường ray là R=367,2m.

Bài toán 5

Hình vẽ minh họa bài toán

Gọi đường tròn (O; R) là đường tròn chứa cung AMB (như hình vẽ)

Do MK là chiều cao $\Rightarrow$ MK $\perp$ AB tại K Gọi MN là đường kính của đường tròn (O) MK đi qua tâm $\mathrm{O} \Rightarrow \mathrm{N}, \mathrm{O}, \mathrm{K}, \mathrm{M}$ thẳng hàng

$\mathrm{MN} \perp$ AB tại $\mathrm{K} \Rightarrow \mathrm{K}$ là trung điểm $\mathrm{AB}$

$\Rightarrow \mathrm{KA}=\mathrm{KB}=\frac{\mathrm{AB}}{2}=\frac{40}{2}=20 \mathrm{~m}$.

Ta có: $\Delta$ AMN nội tiếp đường tròn (O), có cạnh MN là đường kính

$\Rightarrow \Delta$ AMN vuông tại $A$

Xét $\Delta$ KAN và $\Delta$ KMA, ta có:

+$\mathrm{A} \hat{\mathrm{K}} \mathrm{N}=\mathrm{M} \hat{\mathrm{K}} \mathrm{A}=90^{\circ}$

+$\mathrm{MAK}=\mathrm{ANK}$ (vì cùng phụ góc AMN)

$\Rightarrow \Delta \mathrm{KAN}$ đồng dạng $\Delta \mathrm{KMA}(\mathrm{g} \cdot \mathrm{g})$

$\Rightarrow \frac{\text{KA}}{\text{KM}}=\frac{\text{KN}}{\text{KA}}\Leftrightarrow \text{KA}.\text{KA}=\text{KN}.\text{KM}$

$\Leftrightarrow \text{K}{{\text{A}}^{2}}=(\text{MN}-\text{KM})\cdot \text{KM}\Leftrightarrow \text{K}{{\text{A}}^{2}}=(2\text{R}-\text{KM})\text{KM}$

$\Leftrightarrow {{20}^{2}}=(2\text{R}-3)\cdot 3\Leftrightarrow 400=6\text{R}-9$

 $\Leftrightarrow 6\text{R}=409\Leftrightarrow \text{R}\approx 68,17~\text{m}$

Vậy bán kính của đường tròn chứa cung AMB là $68,17 \mathrm{~m}$.

Bài toán 6

Hình vẽ minh họa bài toán

Xét $\Delta$ OBC vuông tại 0 $\Rightarrow \tan \mathrm{OBC}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OB}}$ (tỉ số lượng giác góc nhọn)

$\Rightarrow \mathrm{OC}=\mathrm{OB} \cdot \tan \mathrm{O} \hat{\mathrm{B}} \mathrm{C}=85 \cdot \tan 85^{\circ} \approx 971,6 \mathrm{~m}$

Ta có: $971,6>750$ do đó đèn chiếu sáng được một đoạn của chiếc cầu

Xét $\Delta$ OHD vuông tại $\mathrm{H}$ $\Rightarrow \mathrm{OD}^{2}=\mathrm{OH}^{2}+\mathrm{HD}^{2}$ (định lý Pytago)

.$\Rightarrow \mathrm{HD}^{2}=\mathrm{OD}^{2}-\mathrm{OH}^{2}=971,6^{2}-750^{2}$

$\Rightarrow \mathrm{HD}=\sqrt{971,6^{2}-750^{2}} \approx 617,7 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow \mathrm{AD}=2 \mathrm{HD}=2.617,7=1235,4 \mathrm{~m}$

Vậy độ dài đoạn cầu được chiếu sáng là khoảng $1235,4 \mathrm{~m}$.

Bài toán 7

Hình vẽ minh họa bài toán

- Xét 3 điểm ${{O}^{\prime }},A,B$ ta có: $A B \geq O^{\prime} A-O^{\prime} B$ Xét 3 điểm ${{O}^{\prime }},O,A$ ta có: $\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{A} \geq \mathrm{OO}^{\prime}-\mathrm{OA}$

$\Rightarrow \mathrm{AB} \geq \mathrm{OO}^{\prime}-\mathrm{OA}-\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{B}=950-500-300=150 \mathrm{~m}$

Dấu "=" xảy ra khi O, A, B, O' thẳng hàng theo thứ tự đó

- Vậy ta nên đặt cầu trên đoạn nối tâm của hai đảo thì cây cầu sẽ có chiều dài ngắn nhất là $150 \mathrm{~m}$.

Bài toán 8

Ta có độ dài cung AB là: ${{l}_{\overset\frown{AB}}}=\frac{2\pi R\,\text{sd}\overset\frown{AB}}{{{360}^{\circ }}}$

Thay ${{l}_{\overset\frown{AB}}}=8050,96\,;\,\text{sd}\overset\frown{AB}=72$, $\pi \approx 3,14$ vào trên ta được:

$8050,96=\frac{2.3,14.72.R}{360}$\Rightarrow R=\frac{8050,96.360}{72.3,14.2}=6410\,\,(m)$

Khoảng cách AC từ máy bay đến mặt đất là: $6410 -6400=10 km =10 000 m.$

Bài toán 9

Hai đường tròn đã biêt bán kính, dễ dàng tính được chu vi của mỗi đường tròn. Từ dữ kiện đã cho trong đề bài, tính toán được chiều dài dây cu-roa bao quanh từng đường tròn.

Bài giai

Chu vi đường tròn nhỏ: ${{C}_{2}}=2\pi {{r}_{1}}=2\pi .10=20\pi (\text{cm}).$Suy ra phần dây cu-roa bao quanh đường tròn nhỏ: $l_{1}=\frac{1}{3} C_{1}=\frac{1}{3} .20 \pi=\frac{20}{3} \pi(\mathrm{cm})$

Chu vi của đường tròn lớn: $C_{2}=2 \pi r_{2}=2 \pi .50=100 \pi(\mathrm{cm}) .$ Suy ra phần dây cu-roa bao quanh đường tròn lớn: $l_{2}=\frac{2}{3} C_{2}=\frac{2}{3} \cdot 100 \pi=\frac{200}{3} \pi(\mathrm{cm})$.

$\text { b) Góc } B O_{1} O_{2}=\frac{1}{2} B O_{1} D=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 360^{\circ}=60^{\circ}$.

Trong tam giác vuông $E O_{2} O_{1}$ có:

${{O}_{2}}E={{O}_{1}}{{\text{O}}_{2}}\cdot \sin E{{O}_{1}}{{O}_{2}}=80\cdot \sin {{60}^{{}^\circ }}=80\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=40\sqrt{3}(~\text{cm})$

$\Rightarrow AB=CD={{O}_{1}}E=40\sqrt{3}(~\text{cm})$

Vậy chiều dài của dây cu-roa bao quanh cả hai đường tròn là:

$L=l_{1}+l_{2}+A B+C D=\frac{20 \pi}{3}+\frac{200 \pi}{3}+2.40 \sqrt{3} \approx 368,95(\mathrm{~cm})$.

Bài toán 10 

$\cos \alpha=\frac{r}{r+h} \Leftrightarrow r(1-\cos \alpha)=h \cos \alpha \Leftrightarrow r=\frac{h \cos \alpha}{1-\cos \alpha}$

a) Ta có $F E D=E A D=\alpha$ (cùng phụ với $A E D)$

Biểu diễn $\cos \alpha$ theo $r$ và $h: \cos \alpha=\frac{A D}{A E}=\frac{r}{r+h}$

Từ đó suy ra: $\cos \alpha =\frac{r}{r+h}\Leftrightarrow r(1-\cos \alpha )=h\cos \alpha \Leftrightarrow r=\frac{h\cos \alpha }{1-\cos \alpha }\,\,\,\,(*)$

b) Thay $\alpha ={{22}^{0}}47'$và $h=359$(km) vào công thức $\left({ }^{*}\right)$, ta được:

$r=\frac{h \cos \alpha}{1-\cos \alpha}=\frac{539 \cdot \cos 22^{\circ} 47^{\prime}}{1-\cos 22^{\circ} 47^{\prime}} \approx 6369,12(\mathrm{~km})$.

Bài toán 11

Gọi $r$ là bán kính cùa Mặt Trăng và $R$ là bán kính Trái Đất.

Theo bài ra, ta có: $r=\frac{C}{2 \pi \cdot 3,7}$ với $C$ là chu vi của Trái Đất.

Tam giác ECD cân tại $D$ (theo tính chất của tiếp tuyến) nên DA là tia phân giác của góc EDC. Suy ra $A D C=0,25^{\circ}$.

Khoảng cách $A D: A D=A C \cdot \cot 0,25^{\circ}=r \cdot \cot 0,25^{\circ}$

Khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng là khoảng cách giữa hai tâm:

$AB=AD+DB=r\cdot \cot 0,{{25}^{{}^\circ }}+R$

$AB=\frac{C}{2\pi \cdot 3,7}\cdot \cot 0,{{25}^{{}^\circ }}+\frac{C}{2\pi }=\frac{24000}{2\pi \cdot 3,7}\cdot \cot 0,{{25}^{{}^\circ }}+\frac{24000}{2\pi }$

$\approx 240416,87\text{ (dam) }\approx 386831(~\text{km})$