TOÁN THỰC TẾ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Tài Liệu Toán THCS Toán 9

Các bài toán hệ thức lượng trong tam giác vuông là một dạng toán thường xuất hiện trong các đề kiểm tra học kì cũng như thi tuyển sinh vào 10. Bài viết giúp các em hệ thống lại kiến thức cũng như biết cách xử lí các bài toán trong dạng toán này.

Xem đầy đủ chi tiết các dạng toán thực tế tại đây:

>>Bí kíp chinh phục toán thực tế vào 10

I. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1) $b^{2}=a b^{\prime} ; c^{2}=a c^{\prime}$
2) $h^{2}=b^{\prime} c^{\prime}$
3) $h a=b c$
4) $\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$

 

2.TÍ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

 

1) $\sin \alpha$=( cạnh đối/cạnh huyền )
2) $\cos \alpha$=( cạnh kề/cạnh huyền )
3) $tan \alpha $=( cạnh đối/cạnh kề)
4) $cot \alpha$=(cạnh kề/cạnh đối)
Cách ghi nhớ:

Để ý các chữ cái đầu: Sin=Đối/Huyền, Cos=Kề/Huyền, Tan= Đối/ Kề, Cot= Kề/ Đối nên cách ghi nhớ là:

“Sao Đi Học, CKhóc Hoài, Thôi Đừng Khóc, Có Kẹo Đây.”

 

Như vậy, trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

  • Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với côsin góc kề
  • Cạnh góc vuông kia nhân vói tang góc đối hay nhân với côtang góc kề.

II.BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1: Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vuông đề đo chiều cao của một cây dừa, với các kích thước đo được như hình bên. Khoảng cách từ vị trí gốc cây đến vị trí chân của người thợ là 4,8m và từ vị trí chân đứng thẳng trên mặt đất đến mắt của người ngắm là l,6m. Hỏi với các kích thước trên thì người thợ đo được chiều cao của cây đó là bao nhiêu? (làm tròn đến mét).

Bài giải:

Hình vẽ minh họa bài toán:

Xét tứ giác ABDH có:

$\overset\frown{A}=\overset\frown{B}=\hat{H}={{90}^{{}^\circ }}\text{ (h }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{ nh ve) }$

$\Rightarrow$ Tứ giác ABDH là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow \mathrm{BA}=\mathrm{DH}=1,6 \mathrm{~m} ; \mathrm{BD}=\mathrm{AH}=4,8 \mathrm{~m}$

Xét $\triangle A D C$ vuông tại $D$ và DB là đường cao, ta có:

$\mathrm{DB}^{2}=\mathrm{BA.BC}$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow B C=\frac{D B^{2}}{B A}=\frac{4,8^{2}}{1,6}=14,4 m$

$\Rightarrow A C=A B+B C=1,6+14,4=16 m$

Vậy chiều cao của cây dừa là $16 \mathrm{~m}$.

Bài 2: Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B nằm bên kia bò sông, ông Việt vạch từ A đường vuông góc với AB. Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thằng $A C=30 m$, rồi vạch CD vuông góc với phương BC cắt AB tại $D$ (xem hình vẽ)

Đo được $\mathrm{AD}=20 \mathrm{~m}$, từ đó ông Việt tính được khoảng cách từ $\mathrm{A}$ đến $\mathrm{B}$. Em hãy tính độ dài AB và số đo góc ACB.

Bài giải:

  • Xét $\Delta B C D$ vuông tại C và CA là đường cao, ta có:

$\mathrm{AB} \cdot \mathrm{AD}=\mathrm{AC}^{2}$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow A B=\frac{A C^{2}}{A D}=\frac{30^{2}}{20}=45 m$

  • Xét $\Delta A B C$ vuông tai $A$, ta có:
  • $\tan A C B=\frac{A B}{A C}=\frac{45}{30}=1,5$ (TSLG của góc nhọn)

$\Rightarrow \overset\frown{ABC}\approx {{56}^{{}^\circ }}{{18}^{\prime }}$

  • Vậy tính độ dài $\mathrm{AB}=45 \mathrm{~m}$ và số đo góc $\mathrm{ACB}$ là $56^{\circ} 18^{\prime}$

 

Bài 3. Môt cây cau có chiều cao $6 \mathrm{~m}$. Để hái một buồn cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre vói măt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài $8 \mathrm{~m}$ (làm tròn đến phút).

Bài giải:

Hình vẽ minh họa bài toán:

 

Xét $\Delta ABC$vuông tại A, ta có:

$\sin B=\frac{A C}{B C}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow \widehat{B} \approx 48^{0} 35^{\prime}$

Vây góc giữa thang tre với mặt đất là$48^{0} 35^{\prime}$.

 

Bài 4: Một máy bay đang bay ở độ cao $12 \mathrm{~km}$. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất.

a) Nếu cách sân bay $320 \mathrm{~km}$ (tính từ máy bay đến sân bay) máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu (làm tròn đến phút)?

b) Nếu phi công muốn tao góc nghiêng $5^{0}$ thì cách sân bay(tính tư máy bay đến sân bay) bao nhiêu kilômét phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh (làm tròn đến chũ số thập phân thứ nhất)?

 

Bài giải:

a) Hình vẽ minh họa bài toán: (hình bên)

Xét $\Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A},$ ta có:

$\sin B=\frac{A C}{B C}=\frac{12}{320}=\frac{3}{80}$

$\Rightarrow \hat{B}\approx {{2}^{0}}{{9}^{\prime }}$

Vậy góc nghiêng là $2^{0} 9^{\prime}$

 

 

b)

Hình vẽ minh họa bài toán: (hình bên)

Xét $\Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại A, ta có:

$\sin B=\frac{A C}{B C}$ (TSLG của góc nhọn)

$\Rightarrow B C=\frac{A C}{\sin B}=\frac{12}{\sin 5^{0}} \approx 137,7 k m$

Vây phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh khi cách sân bay $137,7 \mathrm{~km}$.

 

Bài 5: Hải đăng kê Gà thuộc xã Tân Thành, huyện Hàm Thuận Nam, Bình Thuận là ngọn hải đăng được trung tâm sách kỷ luc Viêt Nam xác nhận là ngọn hải đăng cao nhất và nhiều tuổi nhất. Hải đăng Kê Gà được xây dưng từ năm 1897 – 1899 và toàn bộ bằng đá. Tháp đèn có hình bát giác, cao $66 \mathrm{~m}$ so với mực nước biển. Ngọn đèn đặt trong tháp có thể phát sáng xa $40 \mathrm{~km}$. Môt người trên biển muốn quan sát ngọn hải đăng có độ cao $66 \mathrm{~m}$, người đó đứng trên mũi thuyên và dùng giác kế đo được góc giữa thuyền và tia nắng chiều từ đỉnh ngọn hải đăng đến thuyền là $25^{\circ}$. Tính khoảng cách của thuyền đến ngọn hải đăng (làm tròn đến m).

Bài giải:

Hình vẽ minh họa bài toán:

Xét $\triangle A B C$ vuông tại $A$, ta có:

$\tan C=\frac{A B}{A C}$

$\Rightarrow A C=\frac{A B}{\tan C}=\frac{66}{\tan 25^{\circ}} \approx 142 \dot{m}$

Vậy khoảng cách của thuyền đến ngọn hải đăng là $142 \mathrm{~m}$.

 

Bài 6: Trường bạn An có một chiếc thang dài 6 mét. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là $65^{\circ}$ (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng).

Bài giải:

Hình vẽ minh họa bài toán:

Xét $\triangle A B C$ vuông tại $A$, ta có:

$cos B=\frac{AB}{BC} \\ \Rightarrow AB=BC\cdot \cos B=6\cdot \cos {{65}^{{}^\circ }}\approx 2,5~\text{m}$

Vậy cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng $2,5 \mathrm{~m}$.

 

Bài 7: Thang xếp chữ A gồm 2 thang đơn tựa vào nhau. Để an toàn, mỗi thang đon tạo với mặt đất một góc khoảng 750. Nếu muốn tạo một thang xếp chữ $A$ cao $2 \mathrm{~m}$ tính từ mặt đất thì mỗi thang đơn phải dài bao nhiêu?

BÀI GIẢI:

Hình vẽ minh họa bài toán:

Do tam giác ABC cân nên đường cao AH cũng là trung tuyến hay H là trung điểm BC

Xét $\Delta \mathrm{ABH}$ vuông tại $\mathrm{H}$, ta có:

$\sin B=\frac{AH}{AB} \\ \Rightarrow AB=\frac{AH}{\sin B}= \frac{2}{\sin {{75}^{\circ }}} \approx 2,07m$

Vậy thang đơn cần có chiều dài $2,07 \mathrm{~m}$.

 

Bài 8: Từ một đài quan $350 \mathrm{~m}$ so với mực nước biển, người ta nhìn thấy một chiếc thuyền bị nạn dưới góc $20^{\circ}$ so với phương ngang của mực nước biển. Muốn đến cứu con thuyền thì phải đi quãng đường dài bao nhiêu mét?

BÀI GIẢI:

Hình vẽ minh họa bài toán:


  • Theo đề bài, ta có: \[\overset\frown{ABC}=\overset\frown{CBx}={{20}^{\circ }}\](vì $AC//Bx$ và 2 góc ở vị trí so le trong)
  • Xét $\Delta A B C$ vuông tại $A$,

$\tan ACB=\frac{AB}{AC}\text{ }$

$\Rightarrow A C=\frac{A B}{\tan A C B}=\frac{350}{\tan 20^{\circ}} \approx 961,6 \mathrm{~m}$

  • Vậy muốn cứu con thuyền thì phải đi quãng đường dài khoảng $961,6 \mathrm{~m}$.

Xem nhiều nhất

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *